Module Theory: Endomorphism rings and direct sum decompositions in some classes of modules

هدف این تک نگاری توضیحی سه گانه است. ابتدا راه حل مسئله ای که ولفگانگ کرول در سال 1932 مطرح کرده بود ارائه می شود. او پرسید که آیا آنچه اکنون «قضیه کرول-اشمیت» نامیده می‌شود، برای ماژول‌های آرتینی نیز صادق است؟ پاسخ منفی تنها در سال 1995 توسط Facchini، Herbera، Levy و Vámos منتشر شد. دوم، پاسخ به یک سوال مطرح شده توسط وارفیلد در سال 1975، یعنی اینکه آیا قضیه Krull-Schmidt برای ماژول های سریال وجود دارد یا خیر، توضیح داده شده است. فاچینی پاسخ منفی را در سال 1996 منتشر کرد. راه حل مسئله وارفیلد رفتار جالبی را نشان می دهد. در واقع، این پدیده ای است که در تاریخ قضایای نوع کرول-اشمیت بسیار نادر است که ارائه آن به مخاطبان ریاضی گسترده تر، انگیزه سوم را برای این تک نگاری فراهم می کند. به طور خلاصه، قضیه Krull-Schmidt برای برخی از ماژول ها، نه برای همه، صادق است. هنگامی که ثابت است، هر دو تجزیه تجزیه ناپذیر تا یک جایگشت منحصر به فرد تعیین می شود. برای ماژول های سریال قضیه برقرار نیست، اما هر دو تجزیه تجزیه ناپذیر به طور منحصر به فرد تا دو جایگشت تعیین می شوند.

به غیر از این مسائل، این کتاب به موضوعات مختلفی در نظریه ماژول و نظریه حلقه می پردازد، برخی از آنها اکنون کلاسیک در نظر گرفته می شوند. (مانند بعد گلدی، حلقه‌های نیمه کامل، بعد کرول، حلقه‌های ضریب و کاربردهای آن‌ها) و سایر موارد تخصصی‌تر (مانند بعد گلدی دوگانه، حلقه‌های اندومورفیسم نیمه‌محلی، حلقه‌ها و مدول‌های سریال، ویژگی تبادل، (سیگما) - تزریقی خالص ماژول ها). مسائل باز کار را به پایان می‌رسانند.

--------

علاوه بر ارزش پژوهشی، این کتاب افزوده قابل‌توجهی به فهرست کتاب‌های بنیادی در حلقه‌ها است. و ماژول ها با پیشینه های لازم که به روشی منطقی توسعه یافته اند با دقت نوشته شده است. بسیاری از نکات اساسی در کتاب بررسی شده است. همه اینها کتاب را کمک بسیار خوبی به توسعه تئوری ماژول و حلقه و منبع مرجع می کند. جبرگرایان مطمئناً از خواندن این کتاب لذت خواهند برد.

(Zentralblatt MATH)

این کتاب عالی در مورد نظریه ماژول و حلقه (...) شامل سه نوع موضوع است. : موضوعات کلاسیک، (...) موضوعات تخصصی، (...) راه حل های دو مسئله معروف، همراه با ارائه یک پدیده نادر.

(Mathematica)

The purpose of this expository monograph is three-fold. First, the solution of a problem posed by Wolfgang Krull in 1932 is presented. He asked whether what is now called the "Krull-Schmidt Theorem" holds for artinian modules. A negative answer was published only in 1995 by Facchini, Herbera, Levy and Vámos. Second, the answer to a question posed by Warfield in 1975, namely, whether the Krull-Schmidt-Theorem holds for serial modules, is described. Facchini published a negative answer in 1996. The solution to the Warfield problem shows an interesting behavior; in fact, it is a phenomena so rare in the history of Krull-Schmidt type theorems that its presentation to a wider mathematical audience provides the third incentive for this monograph. Briefly, the Krull-Schmidt-Theorem holds for some, not all, classes of modules. When it does hold, any two indecomposable decompositions are uniquely determined up to one permutation. For serial modules the theorem does not hold, but any two indecomposable decompositions are uniquely determined up to two permutations.

Apart from these issues, the book addresses various topics in module theory and ring theory, some now considered classical (such as Goldie dimension, semiperfect rings, Krull dimension, rings of quotients, and their applications) and others more specialized (such as dual Goldie dimension, semilocal endomorphism rings, serial rings and modules, exchange property, (sigma)-pure-injective modules). Open problems conclude the work.

--------

Besides its research value, this book is a considerable addition to the list of fundamental books in rings and modules. It is written carefully with necessary backgrounds developed in a logical way. There are many fundamental points worked out in the book. All these make the book an excellent contribution to the development of module and ring theory, and a source of reference. Algebraists will certainly enjoy themselves in reading this book.

(Zentralblatt MATH)

This excellent book on module and ring theory (…) contains three kind of topics: classical topics, (…) specialized topics, (…) the solutions to two famous problems, together with the presentation of a rare phenomenon.

(Mathematica)