Modern Geometry— Methods and Applications: Part II: The Geometry and Topology of Manifolds

تا همین اواخر، هندسه ریمانی و توپولوژی پایه، حتی توسط گروه‌ها یا دانشکده‌های ریاضی، به عنوان دروس اجباری در آموزش ریاضی در سطح دانشگاه گنجانده نمی‌شد. دروس استاندارد در هندسه دیفرانسیل کلاسیک منحنی ها و سطوح که به جای آن داده شد (و هنوز هم در بعضی جاها ارائه می شود) به تدریج به عنوان نابهنگام تلقی می شوند. با این حال، تا کنون هیچ توافقی به اتفاق آرا در مورد اینکه دقیقاً چگونه چنین دروسی باید به روز شوند، یعنی اینکه کدام بخش از هندسه مدرن باید برای یک آموزش ریاضی مدرن کاملاً ضروری در نظر گرفته شود و چه چیزی ممکن است مناسب باشد، وجود نداشته است. سطح انتزاعی بودن بیان آنها کار طراحی یک دوره مدرن در هندسه در سال 1971 در بخش مکانیک دانشکده مکانیک و ریاضیات دانشگاه دولتی مسکو آغاز شد. موضوع و سطح انتزاعی بودن بیان آن با این دیدگاه دیکته شده است که، علاوه بر هندسه منحنی ها و سطوح، موضوعات زیر قطعاً در زمینه های مختلف کاربرد ریاضیات (به ویژه در کشش و نسبیت، نام فقط دو) و بنابراین ضروری هستند: نظریه تانسورها (از جمله تمایز کوواریانی آنها). انحنای ریمانی؛ ژئودزیک و محاسبات تغییرات (از جمله قوانین حفاظت و فرمالیسم همیلتونی)؛ مورد خاص تانسورهای متقارن - چوله (یعنی e.

Up until recently, Riemannian geometry and basic topology were not included, even by departments or faculties of mathematics, as compulsory subjects in a university-level mathematical education. The standard courses in the classical differential geometry of curves and surfaces which were given instead (and still are given in some places) have come gradually to be viewed as anachronisms. However, there has been hitherto no unanimous agreement as to exactly how such courses should be brought up to date, that is to say, which parts of modern geometry should be regarded as absolutely essential to a modern mathematical education, and what might be the appropriate level of abstractness of their exposition. The task of designing a modernized course in geometry was begun in 1971 in the mechanics division of the Faculty of Mechanics and Mathematics of Moscow State University. The subject-matter and level of abstractness of its exposition were dictated by the view that, in addition to the geometry of curves and surfaces, the following topics are certainly useful in the various areas of application of mathematics (especially in elasticity and relativity, to name but two), and are therefore essential: the theory of tensors (including covariant differentiation of them); Riemannian curvature; geodesics and the calculus of variations (including the conservation laws and Hamiltonian formalism); the particular case of skew-symmetric tensors (i. e.