Modern Differential Geometry in Gauge Theories: Yang¿Mills Fields, Volume II

هندسه دیفرانسیل، به معنای کلاسیک، از طریق تئوری منیفولدهای صاف ایجاد می شود. هندسه دیفرانسیل مدرن از دیدگاه نویسنده در این اثر برای توصیف تئوری های فیزیکی یک شخصیت هندسی بدون استفاده از هیچ مفهومی از حساب (صافی) استفاده شده است. در عوض، یک درمان بدیهی از هندسه دیفرانسیل از طریق تئوری شیف (هندسه) و هم‌شناسی شیف (تحلیل) ارائه می‌شود. با استفاده از نوارهای برداری، به جای بسته‌ها، بر اساس فضاهای توپولوژیکی دلخواه، این رویکرد منحصربه‌فرد به طور کلی دیدگاه‌ها و محاسبات جدیدی را که کاربردهای بالقوه غیرمنتظره‌ای ایجاد می‌کنند، پیش می‌برد.

هندسه دیفرانسیل مدرن در نظریه‌های گیج یک مونوگراف پژوهشی دو جلدی است که به طور سیستماتیک یک رویکرد تئوری شیف را برای نظریه‌های فیزیکی مانند نظریه گیج اعمال می‌کند. با شروع جلد 1، تمرکز بر فیلدهای ماکسول است. تمام مفاهیم اساسی این رویکرد ریاضی فرموله شده و پس از آن برای توصیف ذرات بنیادی، الکترومغناطیس و پیش کوانتیزاسیون هندسی استفاده می شود. فیلدهای ماکسول به طور کامل به زبان تئوری شیف و همولوژی شف بررسی و طبقه بندی می شوند. در ادامه در جلد 2، این رویکرد تئوری شیف به طور کلی در زمینه‌های یانگ میلز اعمال می‌شود.

متن حاوی محاسبات دقیق و دقیقی است و برای ریاضی‌دانان و فیزیکدانان، همراه با مقطع کارشناسی و پیشرفته جذاب خواهد بود. دانشجویان فارغ التحصیل، علاقه مند به کاربردهای هندسه دیفرانسیل در نظریه های فیزیکی مانند نسبیت عام، فیزیک ذرات بنیادی و گرانش کوانتومی.

Differential geometry, in the classical sense, is developed through the theory of smooth manifolds. Modern differential geometry from the author’s perspective is used in this work to describe physical theories of a geometric character without using any notion of calculus (smoothness). Instead, an axiomatic treatment of differential geometry is presented via sheaf theory (geometry) and sheaf cohomology (analysis). Using vector sheaves, in place of bundles, based on arbitrary topological spaces, this unique approach in general furthers new perspectives and calculations that generate unexpected potential applications.

Modern Differential Geometry in Gauge Theories is a two-volume research monograph that systematically applies a sheaf-theoretic approach to such physical theories as gauge theory. Beginning with Volume 1, the focus is on Maxwell fields. All the basic concepts of this mathematical approach are formulated and used thereafter to describe elementary particles, electromagnetism, and geometric prequantization. Maxwell fields are fully examined and classified in the language of sheaf theory and sheaf cohomology. Continuing in Volume 2, this sheaf-theoretic approach is applied to Yang–Mills fields in general.

The text contains a wealth of detailed and rigorous computations and will appeal to mathematicians and physicists, along with advanced undergraduate and graduate students, interested in applications of differential geometry to physical theories such as general relativity, elementary particle physics and quantum gravity.