Models and games

Cover......Page 1
Half-title......Page 3
Series-title......Page 4
Title......Page 5
Copyright......Page 6
Dedication......Page 7
Contents......Page 9
Preface......Page 13
1 Introduction......Page 15
2.1 Finite Sequences......Page 17
Finite Sets......Page 18
2.2 Equipollence......Page 19
2.3 Countable sets......Page 20
2.4 Ordinals......Page 21
2.5 Cardinals......Page 23
2.6 Axiom of Choice......Page 24
Exercises......Page 25
A Preliminary Example: Nim......Page 28
Games – a more general formulation......Page 30
3.3 The Mathematical Concept of Game......Page 34
3.4 Game Positions......Page 35
3.5 Infinite Games......Page 38
Exercises......Page 42
4.2 First-Order Language of Graphs......Page 49
4.3 The Ehrenfeucht–Fraïssé Game on Graphs......Page 52
4.4 Ehrenfeucht–Fraïssé Games and Elementary Equivalence......Page 57
4.5 Historical Remarks and References......Page 62
Exercises......Page 63
5.1 Introduction......Page 67
5.2 Basic Concepts......Page 68
5.3 Substructures......Page 76
5.4 Back-and-Forth Sets......Page 77
5.5 The Ehrenfeucht–Fraïssé Game......Page 79
5.6 Back-and-Forth Sequences......Page 83
Exercises......Page 85
6.2 Basic Concepts......Page 93
6.3 Characterizing Elementary Equivalence......Page 95
6.4 The Löwenheim–Skolem Theorem......Page 99
6.5 The Semantic Game......Page 107
6.6 The Model Existence Game......Page 112
6.7 Applications......Page 116
6.8 Interpolation......Page 121
6.9 Uncountable Vocabularies......Page 127
6.10 Ultraproducts......Page 133
6.11 Historical Remarks and References......Page 139
Exercises......Page 140
7.2 Preliminary Examples......Page 153
7.3 The Dynamic Ehrenfeucht–Fraïssé Game......Page 158
7.4 Syntax and Semantics of Infinitary Logic......Page 171
7.5 Historical Remarks and References......Page 184
Exercises......Page 185
8.2 Löwenheim–Skolem Theorem for L…......Page 190
8.3 Model Theory of L…......Page 193
8.4 Large Models......Page 198
8.5 Model Theory of L…......Page 205
Closed game formulas......Page 215
Closed Vaught formulas......Page 223
8.7 Historical Remarks and References......Page 236
Exercises......Page 237
9.2 Infinite Quantifier Logic......Page 242
9.3 The Transfinite Ehrenfeucht–Fraïssé Game......Page 263
9.4 A Quasi-Order of Partially Ordered Sets......Page 268
9.5 The Transfinite Dynamic Ehrenfeucht–Fraïssé Game......Page 272
9.6 Topology of Uncountable Models......Page 284
9.7 Historical Remarks and References......Page 289
Exercises......Page 292
10.1 Introduction......Page 297
10.2 Generalized Quantifiers......Page 298
10.3 The Ehrenfeucht–Fraïssé Game of Q......Page 310
10.4 First-Order Logic with a Generalized Quantifier......Page 321
10.5 Ultraproducts and Generalized Quantifiers......Page 326
10.6 Axioms for Generalized Quantifiers......Page 328
10.7 The Cofinality Quantifier......Page 347
10.8 Historical Remarks and References......Page 356
Exercises......Page 357
Index......Page 367