Mod Two Homology and Cohomology

مدول 2 هم‌شناسی و همسانی به خواننده کمک می‌کند تا اصول اولیه یک ابزار اصلی در توپولوژی جبری را آسان‌تر درک کند. در مقایسه با یک رویکرد کلی تر به همسانی (همسانی) این رویکرد تازه کننده مزایای آموزشی زیادی دارد:

1. سریعتر به موارد ضروری موضوع منتهی می شود،
2. فقدان علائم و ملاحظات جهت گیری، نظریه را ساده می کند،
3. محاسبات و برنامه های کاربردی پیشرفته را می توان در مرحله قبلی ارائه کرد،
4. تفاسیر هندسی ساده از (هم)زنجیره.

مد 2 (هم) همسانی در ربع اول قرن بیستم به عنوان جایگزینی برای همسانی انتگرال توسعه یافت، قبل از اینکه هر دو به موارد خاصی از همسانی (هم) تبدیل شوند. ضرایب دلخواه.

فصل های اول این کتاب ممکن است به عنوان پایه ای برای یک دوره مقدماتی در سطح فارغ التحصیلی به (هم)شناسی باشد. همسانی ساده و مفرد مد 2 (هم) با محصولات و مربع‌های Steenrod و همچنین هم‌شناسی معادل آن‌ها معرفی شده‌اند. کاربردهای کلاسیک شامل قضیه نقطه ثابت بروور، دوگانگی پوانکاره، قضیه Borsuk-Ulam، ثابت Hopf، نظریه اسمیت، نامتغیر Kervaire، و غیره است. و حساب شوبرت تحولات اخیر نیز پوشش داده شده است، از جمله پیچیدگی توپولوژیکی، فضاهای صورت، نظریه مورس معادل، فضاهای صرف، فضاهای چند ضلعی، و غیره. هر فصل با تمرین‌هایی به پایان می‌رسد که در پایان کتاب چند نکته و پاسخ ارائه می‌شود.

Cohomology and homology modulo 2 helps the reader grasp more readily the basics of a major tool in algebraic topology. Compared to a more general approach to (co)homology this refreshing approach has many pedagogical advantages:

1. It leads more quickly to the essentials of the subject,
2. An absence of signs and orientation considerations simplifies the theory,
3. Computations and advanced applications can be presented at an earlier stage,
4. Simple geometrical interpretations of (co)chains.

Mod 2 (co)homology was developed in the first quarter of the twentieth century as an alternative to integral homology, before both became particular cases of (co)homology with arbitrary coefficients.

The first chapters of this book may serve as a basis for a graduate-level introductory course to (co)homology. Simplicial and singular mod 2 (co)homology are introduced, with their products and Steenrod squares, as well as equivariant cohomology. Classical applications include Brouwer's fixed point theorem, Poincaré duality, Borsuk-Ulam theorem, Hopf invariant, Smith theory, Kervaire invariant, etc. The cohomology of flag manifolds is treated in detail (without spectral sequences), including the relationship between Stiefel-Whitney classes and Schubert calculus. More recent developments are also covered, including topological complexity, face spaces, equivariant Morse theory, conjugation spaces, polygon spaces, amongst others. Each chapter ends with exercises, with some hints and answers at the end of the book.