Mirror Geometry of Lie Algebras, Lie Groups and Homogeneous Spaces

همانطور که K. Nomizu به درستی اشاره کرده است [K. Nomizu، 56]، هندسه دیفرانسیل همیشه جنبه های جدیدتر و جدیدتری از نظریه گروه های دروغ را آغاز خواهد کرد. این تک نگاری فقط به برخی از این جنبه‌های گروه‌های دروغ و جبرهای دروغ اختصاص دارد. مسائل هندسی دیفرانسیل جدید در ارتباط با فضاهای زیر متقارن، زیر تقارن ها و آینه ها به وجود آمدند که در آثار ما به سال 1957 معرفی شدند [L.V. سابینین، 58a,59a,59b]. علاوه بر این، کاوش آینه ها و سیستم های آینه در مورد فضاهای متقارن مورد توجه است. از نظر هندسی، به نظر می رسد غنی ترین محتوا در آنجا فضاهای همگن ریمانی با سیستم هایی از آینه های ایجاد شده توسط زیر تقارن های رفت و آمد، به ویژه، به اصطلاح فضاهای سه متقارن معرفی شده در [L.V. سابینین، 61 ب]. در مورد مسئله هندسی انضمامی که نیاز به حل دارد و در این تک نگاری حل شده است، به عنوان مثال، مشکل طبقه بندی تمام فضاهای متقارن سه گانه با گروه های حرکتی فشرده ساده را نشان می دهیم. عبور از گروه‌ها و زیرگروه‌های مرتبط با آینه‌ها و زیرتقارن‌ها به جبرها و زیرجبرهای Lie مربوطه منجر به مفهوم جدید مهمی از مجموع بی‌تجربی جبرهای Lie می‌شود [L.V. سابینین، 65]. این مفهوم مستقیماً با تقارن واحد ذرات ابتدایی مرتبط است (به [L.V. Sabinin, 95,85] و پیوست 1 مراجعه کنید). اولین نمونه‌های مجموع غیر گیرایی (حتی همسانی) در کاوش فضاهای ریمانی همگن با و تقارن محوری ظاهر شد. در نظر گرفتن فضاهای دارای آینه [L.V. Sabinin، 59b] مجدداً به مبالغ همسانی غیرمجاز منجر شد.

As K. Nomizu has justly noted [K. Nomizu, 56], Differential Geometry ever will be initiating newer and newer aspects of the theory of Lie groups. This monograph is devoted to just some such aspects of Lie groups and Lie algebras. New differential geometric problems came into being in connection with so called subsymmetric spaces, subsymmetries, and mirrors introduced in our works dating back to 1957 [L.V. Sabinin, 58a,59a,59b]. In addition, the exploration of mirrors and systems of mirrors is of interest in the case of symmetric spaces. Geometrically, the most rich in content there appeared to be the homogeneous Riemannian spaces with systems of mirrors generated by commuting subsymmetries, in particular, so called tri-symmetric spaces introduced in [L.V. Sabinin, 61b]. As to the concrete geometric problem which needs be solved and which is solved in this monograph, we indicate, for example, the problem of the classification of all tri-symmetric spaces with simple compact groups of motions. Passing from groups and subgroups connected with mirrors and subsymmetries to the corresponding Lie algebras and subalgebras leads to an important new concept of the involutive sum of Lie algebras [L.V. Sabinin, 65]. This concept is directly concerned with unitary symmetry of elementary par- cles (see [L.V. Sabinin, 95,85] and Appendix 1). The first examples of involutive (even iso-involutive) sums appeared in the - ploration of homogeneous Riemannian spaces with and axial symmetry. The consideration of spaces with mirrors [L.V. Sabinin, 59b] again led to iso-involutive sums.