Meromorphic Functions over Non-Archimedean Fields

نظریه نوانلینا (یا نظریه توزیع ارزش) در تحلیل پیچیده به قدری زیبا است که شخص طبیعتاً علاقه مند به تعیین این است که چنین نظریه ای در تحلیل غیر ارشمیدسی و تقریب های دیوفانتین چگونه به نظر می رسد. دو «قضیه اصلی» و رابطه نقص وجود دارد که در نظریه N evanlinna جایگاه مرکزی را اشغال می‌کند. آنها کاربردهای زیادی در مطالعه منحصر به فرد بودن توابع مرومورفیک، راه حل های جهانی معادلات دیفرانسیل، دینامیک و غیره ایجاد می کنند. در این کتاب به معرفی آنالوگ های غیر ارشمیدسی نظریه نوانلینا و کاربردهای آن می پردازیم. در تئوری توزیع ارزش، مشکل اصلی این است که با توجه به منحنی هولومورفیک f : C - + M به یک تنوع تصویری M با بعد n و یک خانواده 01 از ابرسطوح روی M، تحت شرایط مناسب عدم انحطاط در f، پیدا کنید رابطه نقص اگر 01 n خانواده ای از ابرصفحه ها روی M = r در موقعیت کلی باشد و اگر کوچکترین بعد زیرفضاهای خطی حاوی تصویر f(C) k باشد، کارتان حدس زد که کران رابطه نقص 2n - k + 1 است. اگر 01 خانواده ای از ابرسطح های عبور مجاز یا عادی باشد، به ترتیب حدس شیفمن و حدس گریفیتس-لنگ وجود دارد. در اینجا ما روند این مشکل را فهرست می کنیم: الف. تجزیه و تحلیل پیچیده: (i) اهداف ثابت: R. Nevanlinna[98] برای n = k = 1; H. Cartan [20] برای n = k > 1; E. I. Nochka [99]، [100]، [101] برای n > k ~ 1; حدس شیفمن تا حدی توسط هو یانگ حل شد [71J; حدس گریفیتس-لنگ (باز).

Nevanlinna theory (or value distribution theory) in complex analysis is so beautiful that one would naturally be interested in determining how such a theory would look in the non­ Archimedean analysis and Diophantine approximations. There are two "main theorems" and defect relations that occupy a central place in N evanlinna theory. They generate a lot of applications in studying uniqueness of meromorphic functions, global solutions of differential equations, dynamics, and so on. In this book, we will introduce non-Archimedean analogues of Nevanlinna theory and its applications. In value distribution theory, the main problem is that given a holomorphic curve f : C -+ M into a projective variety M of dimension n and a family 01 of hypersurfaces on M, under a proper condition of non-degeneracy on f, find the defect relation. If 01 n is a family of hyperplanes on M = r in general position and if the smallest dimension of linear subspaces containing the image f(C) is k, Cartan conjectured that the bound of defect relation is 2n - k + 1. Generally, if 01 is a family of admissible or normal crossings hypersurfaces, there are respectively Shiffman's conjecture and Griffiths-Lang's conjecture. Here we list the process of this problem: A. Complex analysis: (i) Constant targets: R. Nevanlinna[98] for n = k = 1; H. Cartan [20] for n = k > 1; E. I. Nochka [99], [100],[101] for n > k ~ 1; Shiffman's conjecture partially solved by Hu-Yang [71J; Griffiths-Lang's conjecture (open).