Measures of Symmetry for Convex Sets and Stability

این کتاب درسی به دو موضوع مهم و مرتبط در هندسه محدب می‌پردازد: کمیت‌سازی تقارن یک مجموعه محدب - اندازه‌گیری‌های تقارن - و درجه‌ای که مجموعه‌های محدب که تقریباً چنین معیارهای تقارن را به حداقل می‌رسانند، خود تقریباً متقارن هستند - پدیده ثبات. با جمع‌آوری ایده‌های اصلی موضوع و نکات برجسته حول مفهوم کلی گرونبام از اندازه‌گیری تقارن، تصویری منسجم از موضوع ترسیم می‌کند و خواننده را از اصول اولیه به هنرهای پیشرفته راهنمایی می‌کند. این بیانیه مسیرهای مختلفی را برای رسیدن به نتایج طی می کند تا درک خواننده را از وحدت ایده ها توسعه دهد، در حالی که اظهارات در هم آمیخته، مطالب را با نمای پشت صحنه از پیامدها و ارتباطات منطقی، اثبات های جایگزین و نتایج مرتبط از ادبیات غنی می کند. تصاویر متعددی تعاریف و ساختارهای کلیدی را توضیح می‌دهند، و بیش از 70 تمرین - با نکات و ارجاعات برای موارد دشوارتر - درک خواننده را آزمایش می‌کنند و تیزتر می‌کنند.

این ارائه شامل: یک دوره آموزشی پایه است که مفاهیم پایه در هندسه محدب را پوشش می‌دهد. سه ستون نظریه ترکیبی (قضیه های Carathéodory، Radon و Helly)، مجموعه های انتقادی و اندازه گیری Minkowski، نابرابری Minkowski-Radon، و برای نشان دادن نظریه کلی، مطالعه اجسام محدب با عرض ثابت. دو برهان قضیه بیضی F. John. درمان پایداری اندازه گیری مینکوفسکی، متریک باناخ-مازور، و برآورد پایداری گرومر برای نابرابری برون-مینکوفسکی. تخصص های مهم اندازه گیری تقارن انتزاعی گرونبام، مانند اندازه گیری وینترنیتز، نسبت حجمی راجرز-شپرد، و اندازه گیری L^p -Minkowski Guo. ساختی توسط نویسنده یک دنباله جدید از معیارهای تقارن، kمین میانگین معیار مینکوفسکی. و در آخر، یک کاربرد جذاب برای فضای مدول نقشه‌های مشخص خاص از یک فضای همگن ریمانی تا

This textbook treats two important and related matters in convex geometry: the quantification of symmetry of a convex set―measures of symmetry―and the degree to which convex sets that nearly minimize such measures of symmetry are themselves nearly symmetric―the phenomenon of stability. By gathering the subject’s core ideas and highlights around Grünbaum’s general notion of measure of symmetry, it paints a coherent picture of the subject, and guides the reader from the basics to the state-of-the-art. The exposition takes various paths to results in order to develop the reader’s grasp of the unity of ideas, while interspersed remarks enrich the material with a behind-the-scenes view of corollaries and logical connections, alternative proofs, and allied results from the literature. Numerous illustrations elucidate definitions and key constructions, and over 70 exercises―with hints and references for the more difficult ones―test and sharpen the reader’s comprehension.

The presentation includes: a basic course covering foundational notions in convex geometry, the three pillars of the combinatorial theory (the theorems of Carathéodory, Radon, and Helly), critical sets and Minkowski measure, the Minkowski–Radon inequality, and, to illustrate the general theory, a study of convex bodies of constant width; two proofs of F. John’s ellipsoid theorem; a treatment of the stability of Minkowski measure, the Banach–Mazur metric, and Groemer’s stability estimate for the Brunn–Minkowski inequality; important specializations of Grünbaum’s abstract measure of symmetry, such as Winternitz measure, the Rogers–Shepard volume ratio, and Guo’s L^p -Minkowski measure; a construction by the author of a new sequence of measures of symmetry, the kth mean Minkowski measure; and lastly, an intriguing application to the moduli space of certain distinguished maps from a Riemannian homogeneous space to