Measures of Noncompactness and Condensing Operators

عملگر متراکم کننده (یا متراکم کننده) نقشه برداری است که در آن تصویر هر مجموعه به معنای خاصی فشرده تر از خود مجموعه است. درجه عدم فشردگی یک مجموعه با استفاده از توابعی به نام معیارهای عدم تراکم اندازه گیری می شود. نقشه‌های انقباضی و نقشه‌های فشرده [یعنی در این مقدمه، نقشه‌هایی که هر مجموعه محدود را به یک مجموعه نسبتا فشرده ارسال می‌کنند. در متن اصلی عبارت \"compact\" برای عملگرهایی که علاوه بر داشتن این ویژگی، پیوسته هستند، یعنی در اصطلاح نویسندگان، برای عملگرهای کاملاً پیوسته] متراکم هستند، محفوظ خواهد بود. برای نقشه‌های انقباضی می‌توان قطر یک مجموعه را به عنوان معیار عدم فشردگی در نظر گرفت، در حالی که برای نقشه‌های فشرده می‌توان تابع نشانگر خانواده‌ای از مجموعه‌های نسبتاً فشرده را در نظر گرفت. عملگرهای شکل F(x) = G(x, x)، که در آن G در آرگومان اول انقباضی و در آرگومان دوم فشرده است، همچنین با توجه به برخی معیارهای طبیعی عدم فشردگی متراکم می شوند. عملگرهای متراکم خطی با این واقعیت مشخص می شوند که تقریباً تمام طیف آنها در یک دیسک با شعاع کوچکتر از یک گنجانده شده است. مثال های داده شده در بالا نشان می دهد که عملگرهای متراکم یک پدیده به اندازه کافی معمولی در کاربردهای مختلف آنالیز تابعی، به عنوان مثال، در تئوری معادلات دیفرانسیل و انتگرال هستند. همانطور که مشخص است، عملگرهای متراکم خواصی شبیه به اپراتورهای فشرده دارند.

A condensing (or densifying) operator is a mapping under which the image of any set is in a certain sense more compact than the set itself. The degree of noncompactness of a set is measured by means of functions called measures of noncompactness. The contractive maps and the compact maps [i.e., in this Introduction, the maps that send any bounded set into a relatively compact one; in the main text the term "compact" will be reserved for the operators that, in addition to having this property, are continuous, i.e., in the authors' terminology, for the completely continuous operators] are condensing. For contractive maps one can take as measure of noncompactness the diameter of a set, while for compact maps can take the indicator function of a family of non-relatively com­ pact sets. The operators of the form F( x) = G( x, x), where G is contractive in the first argument and compact in the second, are also condensing with respect to some natural measures of noncompactness. The linear condensing operators are characterized by the fact that almost all of their spectrum is included in a disc of radius smaller than one. The examples given above show that condensing operators are a sufficiently typical phenomenon in various applications of functional analysis, for example, in the theory of differential and integral equations. As is turns out, the condensing operators have properties similar to the compact ones.