Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra

Vorwort
Dank
Inhaltsverzeichnis
Teil I Grundlagen
	Kapitel 1 Mengenlehre und Logik
		1.1 Mengenbegriff
		1.2 Mengenoperationen
		1.3 Abbildungen
		1.4 Aussagenlogik
		1.5
Prädikatenlogik
		1.6
Beweise
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 2
Reelle Zahlen
		2.1
Natürliche und ganze Zahlen
			2.1.1
Ordnung
			2.1.2
Zahlendarstellung
			2.1.3
Primzahlen
			2.1.4
Fakultät und Binomialkoeffizient
		2.2
Rationale Zahlen
			2.2.1
Rechnen mit rationalen Zahlen (Bruchrechnung)
			2.2.2
Dezimalbruchdarstellung rationaler Zahlen
			2.2.3
Abzählbarkeit
			2.2.4
Vollständige Induktion
		2.3
Reelle Zahlen
			2.3.1
Von den rationalen zu den reellen Zahlen
			2.3.2
Vollständigkeit und Einführung der reellen Zahlen
			2.3.3
Variablennamen
			2.3.4
Intervalle
			2.3.5 Die Zahlen e und π
			2.3.6
Überabzählbarkeit der reellen Zahlen
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 3
Rechnen mit reellen Zahlen
		3.1
Potenzen und Wurzeln
		3.2
Summen und Produkte, Binomischer Lehrsatz
			3.2.1
Summenzeichen und Produktzeichen
			3.2.2
Geometrische Summenformel und Anwendungen
			3.2.3
Binomischer Lehrsatz
		3.3
Beträge und Ungleichungen
			3.3.1
Beträge
			3.3.2
Ungleichungen
		3.4
Über das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
			3.4.1
Rationale Gleichungen, Wurzel-, Betragsgleichungen
			3.4.2
Rationale Ungleichungen und Betragsungleichungen
				3.4.2.1 Lineare Ungleichungen
				3.4.2.2 Quadratische Ungleichungen
				3.4.2.3 Gebrochen-rationale Ungleichungen
				3.4.2.4 Betragsungleichungen
				3.4.2.5 Allgemeine Ungleichungen
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 4
Reelle Funktionen
		4.1
Notation reeller Funktionen
		4.2
Eigenschaften von reellen Funktionen
		4.3
Umkehrfunktion
		4.4
Verkettung von Funktionen
		4.5
Signum- und Betragsfunktion
		4.6
Polynome und gebrochen-rationale Funktionen
			4.6.1
Polynome
			4.6.2
Interpolation
			4.6.3
Faktorzerlegung und Polynomdivision
			4.6.4 Horner-Schema
			4.6.5
Gebrochen-rationale Funktionen
		4.7
Potenz- und Wurzelfunktionen
		4.8
Exponentialfunktionen und Logarithmen
			4.8.1
Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus
			4.8.2
Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen
			4.8.3
Exponential- und Logarithmusgleichungen
			4.8.4
Logarithmische Darstellungen
		4.9
Trigonometrische Funktionen
			4.9.1
Winkel und Bogenmaß
			4.9.2
Sinus, Kosinus und Tangens
			4.9.3
Trigonometrische Funktionen in der Geometrie
			4.9.4
Additionstheoreme
			4.9.5
Harmonische Schwingungen und Zeigerdiagramme
			4.9.6
Arkus-Funktionen
			4.9.7
Trigonometrische Gleichungen
		4.10
Hyperbel- und Areafunktionen
			4.10.1
Hyperbelfunktionen
			4.10.2
Areafunktionen
	Kapitel 5
Komplexe Zahlen
		5.1
Erweiterung der reellen Zahlen um eine imaginäre Einheit
		5.2
Komplexe Arithmetik
		5.3
Die Gauß\'sche Zahlenebene
			5.3.1
Betrag
			5.3.2
Rechnen mit Beträgen komplexer Zahlen
			5.3.3
Euler\'sche Gleichung, Polarform und Eulerform
			5.3.4
Komplexe Potenzen und komplexe Wurzeln
		5.4 Komplexe Wechselstromrechnung ∗
		5.5
Fundamentalsatz der Algebra
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 6
Lineare Gleichungssysteme und
Matrizen
		6.1
Lineare Gleichungssysteme
		6.2
Matrizen, Zeilen- und Spaltenvektoren
		6.3
Lösen linearer Gleichungssysteme
			6.3.1
Gauß-Algorithmus
			6.3.2
Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme
		6.4
Inverse Matrix und transponierte Matrix
		6.5
Symmetrische und orthogonale Matrizen
		6.6
Dreiecksmatrizen, Bandmatrizen und LR-Zerlegung
			6.6.1
Dreiecksmatrizen und Bandmatrizen
			6.6.2
LR-Zerlegung
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 7
Determinanten
		7.1
Definition und elementare Eigenschaften von Determinanten
		7.2
Determinanten und lineare Gleichungssysteme
	Kapitel 8
Aufgaben zu Teil I
		8.1
Rechnen, Mengen und Logik
		8.2
Vollständige Induktion und Binomischer Lehrsatz
		8.3
Gleichungen und Funktionen
		8.4
Komplexe Zahlen
		8.5
Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
		8.6
Determinanten
		Literaturverzeichnis
Teil II Differenzial- und Integralrechnung
	Kapitel 9
Folgen
		9.1
Definition und Grundbegriffe von Folgen
		9.2
Konvergenz und Divergenz von Folgen
		9.3
Rechnen mit konvergenten Folgen
		9.4
Konvergenzkriterien
		9.5
Die Euler\'sche Zahl e als Grenzwert von Folgen
		9.6
Approximation reeller Potenzen
		9.7 Bestimmte Divergenz
		9.8
Häufungspunkte einer Folge
		9.9
Folgenkompaktheit und Cauchy-Folgen
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 10
Zahlen-Reihen
		10.1
Definition und Konvergenz einer Reihe
		10.2
Rechnen mit konvergenten Reihen
		10.3
Alternativen zur Definition der Reihenkonvergenz
		10.4
Absolute Konvergenz
		10.5
Konvergenzkriterien für Reihen
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 11
Grenzwerte von Funktionen und
Stetigkeit
		11.1
Umgebungen und Überdeckungen
		11.2
Grenzwerte von Funktionen
		11.3
Stetigkeit
		11.4
Eigenschaften stetiger Funktionen
		11.5
Unstetigkeitsstelln
	Kapitel 12
Differenzierbarkeit und
Ableitungen
		12.1
Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten
		12.2
Ableitungsregeln
		12.3
Newton-Verfahren
		12.4
Das Differenzial
		12.5
Höhere Ableitungen
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 13 Zentrale Sätze der Differenzialrechnung
		13.1
Satz von Fermat: notwendige Bedingung für lokale Extrema
		13.2
Mittelwertsätze der Differenzialrechnung
		13.3
Regeln von L\'Hospital
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 14
Integralrechnung
		14.1
Definition des Integrals
		14.2
Eigenschaften des Integrals
		14.3
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
		14.4
Rechenregeln zur Integration
			14.4.1
Partielle Integration
			14.4.2
Integralsubstitution
			14.4.3 Integration gebrochen-rationaler Funktionen
		14.5
Numerische Integration
		14.6
Uneigentliche Integrale
			14.6.1
Unbeschränkter Integrand
			14.6.2
Unbeschränkter Integrationsbereich
		14.7
Volumen und Flächen
			14.7.1
Flächenberechnung in der Ebene
			14.7.2
Volumen eines Rotationskörpers
			14.7.3
Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers
		14.8 Lebesgue-Integral ∗
			14.8.1
Messbare Mengen
			14.8.2
Messbare Funktionen
			14.8.3
Definition des Lebesgue-Integrals
			14.8.4
Eigenschaften des Lebesgue-Integrals
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 15
Satz von Taylor, Kurvendiskussion
und Extremalprobleme
		15.1
Taylor-Summen
		15.2
Kurvendiskussion und Extremalprobleme
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 16
Potenzreihen
		16.1
Unendliche Taylor-Summen und Potenzreihen
		16.2 Einschub: Funktionenfolgen ∗
		16.3
Konvergenz von Potenzreihen
		16.4
Differenziation und Integration von Potenzreihen
		16.5
Der Zusammenhang zwischen Potenzreihen und Taylor-Reihen
		16.6
Die komplexe Exponentialfunktion
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 17
Aufgaben zu Teil II
		17.1
Folgen
		17.2
Reihen
		17.3
Funktionengrenzwerte und Stetigkeit
		17.4
Ableitungen
		17.5
Integrale
		17.6
Satz von Taylor und Kurvendiskussion
		17.7
Potenzreihen
Teil III Lineare Algebra
	Kapitel 18
Vektoren in der Ebene und im
Raum
		18.1 Vektoren: Grundbegriffe und elementare Rechenregeln
			18.1.1
Vektorarithmetik
			18.1.2
Koordinaten und Komponenten
		18.2
Skalarprodukt und Orthogonalität
			18.2.1
Definition des Skalarprodukts
			18.2.2
Rechenregeln, Koordinatenform und Winkelberechnung
			18.2.3
Anwendungen des Skalarprodukts in der Geometrie
			18.2.4
Orthogonale Projektion und Lot
		18.3
Vektorprodukt und Spatprodukt
			18.3.1
Vektorprodukt
			18.3.2
Spatprodukt
		18.4
Anwendungen des Skalar-, Vektor- und Spatprodukts
		18.5
Geraden in der Ebene und im Raum
			18.5.1
Darstellungsformen von Geraden
			18.5.2
Typische Aufgabenstellungen für Geraden
		18.6
Ebenen im Raum
			18.6.1
Darstellungsformen von Ebenen im Raum
			18.6.2
Typische Aufgabenstellungen für Ebenen
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 19
Vektorräume
		19.1
Definition des Vektorraums
			19.1.1
Vektorraumaxiome
			19.1.2
Linearkombinationen und Erzeugendensysteme
			19.1.3
Unterräume
		19.2
Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension
			19.2.1
Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit
			19.2.2
Basis und Dimension
		19.3
Skalarprodukt und Norm
			19.3.1
Euklid\'scher Raum und Skalarprodukt
			19.3.2
Betrag, Norm und Abstand
		19.4 Orthogonalität, Orthogonal- und Orthonormalsysteme
			19.4.1
Winkel und Orthogonalität
			19.4.2
Orthogonal- und Orthonormalsysteme
			19.4.3
Euklid\'sche Räume endlicher Dimension
			19.4.4
Gram-Schmidt\'sches Orthonormierungsverfahren
			19.4.5
Orthogonale Projektion
			19.4.6
Orthogonale Matrizen
	Kapitel 20
Lineare Abbildungen
		20.1
Lineare Abbildungen und Matrizen
		20.2
Linearkombination und Verkettung linearer Abbildungen
		20.3
Kern und Bild einer linearen Abbildung, Dimensionssatz
		20.4
Umkehrabbildung und inverse Matrix
		20.5
Koordinaten- und Basistransformationen
	Kapitel 21
Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme
		21.1
Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems
		21.2
Berechnung von linearen elektrischen Netzwerken
			21.2.1
Elektrische Netzwerke und Graphen
			21.2.2
Maschengleichungen
			21.2.3
Knotengleichungen
			21.2.4
Gleichungen zwischen Spannungen und Strömen
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 22
Eigenwerte und Eigenvektoren
		22.1
Eigenwerte und Eigenvektoren
		22.2 Diagonalisierung von Matrizen ∗
		22.3 Hauptvektoren und Jordan-Normalform∗
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 23 Normierte Vektorräume: Lineare Algebra trifft Analysis∗
		23.1
Norm
		23.2
Banach- und Hilbert-Räume
		23.3
Lp-Räume
		23.4
Stetige Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen
			23.4.1
Stetigkeit und Operatornormen
			23.4.2
Matrix-Normen
			23.4.3
Kondition, Stabilität und Konsistenz
			23.4.4
Fixpunktverfahren für lineare Gleichungssysteme
		23.5
Einige zentrale Sätze der Funktionalanalysis
		23.6
Sobolev-Räume
		Literaturverzeichnis
	Kapitel 24
Aufgaben zu Teil III
		24.1
Rechnen mit Vektoren im Anschauungsraum
		24.2
Vektorräume
		24.3
Matrizen und lineare Abbildungen
Kleine Formelsammlung
Index