Mathematik für die Informatik: Grundlegende Begriffe, Strukturen und Anwendungen

Einleitung zur ersten Auflage
Vorwort zur zweiten Auflage
Vorwort zur dritten Auflage
Vorwort zur vierten Auflage
Vorwort zur fünften Auflage
Inhalt
1 Mengentheoretische Grundlagen
	1.1 Der Cantorsche Mengenbegriff
		1.1.1 Definition: Menge (G. Cantor)
		1.1.2 Definition: explizite Darstellung
		1.1.3 Beispiele: explizite Darstellungen
		1.1.4 Definition: Aussage (Aristoteles)
		1.1.5 Definition: deskriptive Mengenbeschreibung
		1.1.6 Beispiele: deskriptive Mengenbeschreibungen
		1.1.7 Definition: Enthaltenseinsrelation
		1.1.8 Definition: Zahlenmengen N, Z,Q,R
		1.1.9 Festlegung: deskriptive Darstellung mit Typisierung
		1.1.10 Definition: Inklusion, echte Inklusion, Gleichheit
		1.1.11 Satz: Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität
		1.1.12 Definition: leere Menge
		1.1.13 Beispiele: Inklusionen, Gleichheiten
	1.2 Einige Konstruktionen auf Mengen
		1.2.1 Definition: binäre Vereinigung, binärer Durchschnitt, Differenz
		1.2.2 Beispiele: Vereinigungen, Durchschnitte, Differenzen
		1.2.3 Satz: Inklusion, Vereinigung, Durchschnitt
		1.2.4 Satz: Kommutativität, Assoziativität, Distributivität
		1.2.5 Definition: beliebige Vereinigung und beliebiger Durchschnitt
		1.2.6 Satz: Einschließungseigenschaft
		1.2.7 Satz: rekursives Vereinigen und Schneiden
		1.2.8 Definition: indizierte Vereinigung und indizierter Durchschnitt
		1.2.9 Satz: Eigenschaften der Mengendifferenz
		1.2.10 Satz: Eigenschaften des Komplements
	1.3 Potenzmengen und Kardinalitäten
		1.3.1 Definition: Potenzmenge
		1.3.2 Beispiele: Potenzmengen
		1.3.3 Satz: Konstruktion der Potenzmenge
		1.3.4 Beispiel: Konstruktion der Potenzmenge
		1.3.5 Definition: Endlichkeit einer Menge
		1.3.6 Definition: Kardinalität
		1.3.7 Satz: Kardinalitätsformel
		1.3.8 Beispiel: Kardinalität
		1.3.9 Satz: Kardinalität der Potenzmenge
	1.4 Relationen und Funktionen
		1.4.1 Definition: Paar, binäres direktes Produkt
		1.4.2 Bemerkung: Zermelo-Mengenkomprehension
		1.4.3 Satz: Kardinalität von direkten Produkten
		1.4.4 Definition: Relation
		1.4.5 Beispiele: Relationen
		1.4.6 Festlegung: Spezifikation von Relationen
		1.4.7 Definition: eindeutige und totale Relation
		1.4.8 Definition: Funktion
		1.4.9 Beispiele: Funktionen
		1.4.10 Definition: Gleichheit von Paaren
		1.4.11 Satz: Gleichheit von Funktionen
	1.5 Ergänzungen zum Funktionsbegriff
	1.6 Übungsaufgaben
		1.6.1 Aufgabe
		1.6.2 Aufgabe
		1.6.3 Aufgabe
		1.6.4 Aufgabe
		1.6.5 Aufgabe
		1.6.6 Aufgabe
		1.6.7 Aufgabe
		1.6.8 Aufgabe
		1.6.9 Aufgabe
		1.6.10 Aufgabe
		1.6.11 Aufgabe
		1.6.12 Aufgabe
		1.6.13 Aufgabe
2 Logische Grundlagen
	2.1 Sprache und Ausdrucksweise der Mathematik
		2.1.1 Definition: Konstruktionen der mathematischen Formelsprache
		2.1.2 Festlegung: Quantoren mit typisierten Variablen
	2.2 Grundlagen der Aussagenlogik
		2.2.1 Definition: Formeln der Aussagenlogik
		2.2.2 Beispiele: aussagenlogische Formeln
		2.2.3 Definition: Wahrheitswerte
		2.2.4 Definition: Bedeutung der Junktoren
		2.2.5 Beispiel: Berechnung des Wahrheitswerts einer Formel
		2.2.6 Definition: logische Äquivalenz
		2.2.7 Satz: grundlegende logische Äquivalenzen
		2.2.8 Satz: logische Äquivalenz und Wahrheitswert
		2.2.9 Satz: weitere logische Äquivalenzen
		2.2.10 Beispiele: Beweise von Mengengleichheiten
		2.2.11 Definition: logische Implikation
		2.2.12 Satz: logische Äquivalenz und logische Implikation
	2.3 Grundlagen der Prädikatenlogik
		2.3.1 Beispiele: Formeln der Prädikatenlogik
		2.3.2 Beispiel: Mehrdeutigkeit bei Umgangssprache
		2.3.3 Festlegung der Prädikatenlogik (Skizze)
		2.3.4 Beispiele: Wahrheitswerte von Formeln
		2.3.5 Definition: freie Variable, logische Äquivalenz
		2.3.6 Satz: logische Äquivalenz und Wahrheitswert
		2.3.7 Beispiele: Tautologien und Kontradiktionen
		2.3.8 Bemerkung: Sätze in der mathematischen Umgangssprache
		2.3.9 Satz: Regeln für Quantoren
		2.3.10 Beispiele: Umformungen prädikatenlogischer Formeln
	2.4 Die Grenzen des naiven Mengenbegriffs
	2.5 Übungsaufgaben
		2.5.1 Aufgabe
		2.5.2 Aufgabe
		2.5.3 Aufgabe
		2.5.4 Aufgabe
		2.5.5 Aufgabe
		2.5.6 Aufgabe
		2.5.7 Aufgabe
		2.5.8 Aufgabe
		2.5.9 Aufgabe
		2.5.10 Aufgabe
		2.5.11 Aufgabe
		2.5.12 Aufgabe
		2.5.13 Aufgabe
		2.5.14 Aufgabe
		2.5.15 Aufgabe
		2.5.16 Aufgabe
3 Allgemeine direkte Produkte und Datenstrukturen
	3.1 Tupel, Folgen und Familien
		3.1.1 Definition: Tupel und allgemeines direktes Produkt
		3.1.2 Bemerkung
		3.1.3 Satz: Kardinalität direkter Produkte
		3.1.4 Sprechweisen: Stelligkeit und Wertigkeit
		3.1.5 Beispiele: Stelligkeit und Wertigkeit von Funktionen
		3.1.6 Definition: komponentenweise Gleichheit
		3.1.7 Definition: Folge
	3.2 Lineare Listen
		3.2.1 Definition: leeres Tupel
		3.2.2 Definition: lineare Liste, nichtleere und leere Liste
		3.2.3 Definition: Linksanfügen
		3.2.4 Definition: Operationen auf linearen Listen
		3.2.5 Beispiele: Operationen auf linearen Listen
		3.2.6 Satz: Anzahl von Listen einer maximalen Länge
		3.2.7 Beispiel: Auto-Kennzeichen
	3.3 Knotenmarkierte Binärbäume
		3.3.1 Beispiele: knotenmarkierte Binärbäume
		3.3.2 Definition: knotenmarkierter Binärbaum
		3.3.3 Definition: Baumkonstruktion
		3.3.4 Definition: Baumoperationen
		3.3.5 Beispiel: Baumoperationen
	3.4 Zur induktiven Definition von Mengen
	3.5 Übungsaufgaben
		3.5.1 Aufgabe
		3.5.2 Aufgabe
		3.5.3 Aufgabe
		3.5.4 Aufgabe
		3.5.5 Aufgabe
		3.5.6 Aufgabe
		3.5.7 Aufgabe
		3.5.8 Aufgabe
		3.5.9 Aufgabe
		3.5.10 Aufgabe
		3.5.11 Aufgabe
4 Mathematische Beweise
	4.1 Direkte Beweise
		4.1.1 Satz: Summenformel von C.F. Gauß
		4.1.2 Lemma
		4.1.3 Satz: Fixpunktsatz von B. Knaster
	4.2 Indirekte Beweise
		4.2.1 Satz: ungerade Summen
		4.2.2 Satz: ganzzahliger Anteil der Quadratwurzel
	4.3 Beweise durch Widerspruch
		4.3.1 Satz (Euklid)
		4.3.2 Festlegung
		4.3.3 Satz (Euklid)
		4.3.4 Satz (Euklid)
		4.3.5 Satz: Schubfachprinzip
		4.3.6 Beispiele: Widerlegen durch Gegenbeispiele
	4.4 Induktionsbeweise
		4.4.1 Satz: vollständige Induktion
		4.4.2 Sprechweisen
		4.4.3 Satz: vollständige Induktion, variabler Induktionsbeginn
		4.4.4 Satz: Teilbarkeit durch 6
		4.4.5 Satz: Summenformel von C.F. Gauß
		4.4.6 Satz: Potenzierungsregel
		4.4.7 Satz: Kardinalität der Potenzmenge
		4.4.8 Satz: Listeninduktion
		4.4.9 Satz: Eigenschaften der Konkatenation
		4.4.10 Satz: Bauminduktion
	4.5 Einige Hinweise zum Finden von Beweisen
		4.5.1 Von beiden Seiten her rechnen
		4.5.2 Beispiel: Aussagenlogik
		4.5.3 Einfache Lösungen bevorzugen
		4.5.4 Reduzierend vorgehen und dabei so wenig wie möglich verstärken
		4.5.5 Beispiel: Potenzmenge
		4.5.6 Beispiel: Mittelwerte
		4.5.7 Bezeichnungskollisionen auflösen
		4.5.8 Beispiel: nochmals Potenzmenge
		4.5.9 Der Quantorenreihenfolge folgen
		4.5.10 Beispiel: Grenzwert einer Folge
		4.5.11 Sinnvolle Fallunterscheidungen einführen
		4.5.12 Beispiel: Absolutbetrag
		4.5.13 Beispiel: ganzzahliger Anteil des dualen Logarithmus
		4.5.14 Behauptung gegebenenfalls verallgemeinern
		4.5.15 Beispiel: Entrekursivierung
	4.6 Übungsaufgaben
		4.6.1 Aufgabe
		4.6.2 Aufgabe
		4.6.3 Aufgabe
		4.6.4 Aufgabe
		4.6.5 Aufgabe
		4.6.6 Aufgabe
		4.6.7 Aufgabe
		4.6.8 Aufgabe
		4.6.9 Aufgabe
		4.6.10 Aufgabe
		4.6.11 Aufgabe
		4.6.12 Aufgabe
5 Anwendung: Spezifikation und Programmverifikation
	5.1 Imperative Programmierung
		5.1.1 Beispiel: Ausführung von Zuweisungen
		5.1.2 Definition: Anweisungen der Kernsprache
		5.1.3 Beispiel: imperatives Programm über Zahlen
		5.1.4 Beispiel: imperatives Programm über linearen Listen
	5.2 Partielle Korrektheit und ein Verifikationskalkül
		5.2.1 Definition: Hoare-Kalkül für die Kernsprache
		5.2.2 Definition: Herleitung im Hoare-Kalkül
		5.2.3 Beispiel: Verifikation eines imperativen Programms
	5.3 Beweisverpflichtungen und Programmkonstruktion
		5.3.1 Satz: Beweisverpflichtungen
		5.3.2 Beispiel: Programmverifikation mittels Beweisverpflichtungen I
		5.3.3 Beispiel: Programmverifikation mittels Beweisverpflichtungen II
		5.3.4 Beispiel: Programmkonstruktion I
		5.3.5 Beispiel: Programmkonstruktion II
	5.4 Totale Korrektheit und Terminierung
		5.4.1 Satz: Totale und partielle Korrektheit
		5.4.2 Beispiele: Fehler erster Art
		5.4.3 Beispiele: Fehler zweiter Art
	5.5 Bemerkungen zu logischen Kalkülen
	5.6 Übungsaufgaben
		5.6.1 Aufgabe
		5.6.2 Aufgabe
		5.6.3 Aufgabe
		5.6.4 Aufgabe
		5.6.5 Aufgabe
		5.6.6 Aufgabe
		5.6.7 Aufgabe
		5.6.8 Aufgabe
		5.6.9 Aufgabe
		5.6.10 Aufgabe
		5.6.11 Aufgabe
		5.6.12 Aufgabe
		5.6.13 Aufgabe
6 Spezielle Funktionen
	6.1 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
		6.1.1 Satz: leere Relation als Funktion
		6.1.2 Festlegung: nichtleere Quellen
		6.1.3 Definition: Injektivität und Surjektivität
		6.1.4 Beispiele: bipartite Pfeildiagramme
		6.1.5 Definition: strenge Monotonie
		6.1.6 Satz: strenge Monotonie impliziert Injektivität
		6.1.7 Satz: hinreichende Kriterien für Injektivität und Surjektivität
		6.1.8 Beispiele: Injektivität und Surjektivität
		6.1.9 Definition: Komposition und identische Funktion
		6.1.10 Satz: Eigenschaften Funktionskomposition
		6.1.11 Definition: Bijektion
		6.1.12 Satz: Bijektivität und Links- bzw. Rechtsinverse
		6.1.13 Definition: Umkehrfunktion
		6.1.14 Beispiel: Bijektivität im Pfeildiagramm
		6.1.15 Definition: Bild(menge) und Urbild(menge)
		6.1.16 Satz: Urbilder einelementiger Mengen
		6.1.17 Satz: Charakterisierung von Injektivität und Surjektivität
		6.1.18 Satz: Injektivität und Linksinverse
		6.1.19 Auswahlaxiom (E. Zermelo)
		6.1.20 Satz: Surjektivität und Rechtsinverse
	6.2 Kardinalitätsvergleich von Mengen
		6.2.1 Definition: Kardinalitätsvergleiche
		6.2.2 Lemma
		6.2.3 Satz: fundamentale Eigenschaften
		6.2.4 Beispiele: Kardinalitätsvergleiche
		6.2.5 Satz (G. Cantor)
		6.2.6 Satz (E. Schröder und F. Bernstein)
		6.2.7 Beispiele: Anwendungen des Satzes von Schröder-Bernstein
		6.2.8 Satz: NN gleichmächtig zu P(N)
	6.3 Charakterisierung von endlichen Mengen
		6.3.1 Satz: Charakterisierung endlicher Mengen I
		6.3.2 Lemma
		6.3.3 Lemma
		6.3.4 Satz: Charakterisierung unendlicher Mengen
		6.3.5 Satz: Charakterisierung endlicher Mengen II
		6.3.6 Definition: Tarski- bzw. Bolzano-endliche Menge
		6.3.7 Lemma
		6.3.8 Satz: Charakterisierung endlicher Mengen III
		6.3.9 Lemma
		6.3.10 Satz: Charakterisierung endlicher Mengen IV
	6.4 Wachstum spezieller Funktionen und Aufwand von Algorithmen
		6.4.1 Lemma
		6.4.2 Lemma
		6.4.3 Definition: Potenzfunktion
		6.4.4 Satz: Eigenschaften Potenzfunktion
		6.4.5 Definition: Wurzelfunktion
		6.4.6 Definition: Exponentialfunktion
		6.4.7 Satz: Eigenschaften Exponentialfunktion
		6.4.8 Definition: Logarithmusfunktion
		6.4.9 Lemma
		6.4.10 Lemma
		6.4.11 Satz: Exponentiation übertrifft irgendwann Potenzierung
		6.4.12 Definition: asymptotische Beschränkung
		6.4.13 Korollar
		6.4.14 Beispiel: Aufwand und Laufzeiten
		6.4.15 Beispiele: Aufwand konkreter Programme
	6.5 Zur Berechenbarkeit von Funktionen
	6.6 Übungsaufgaben
		6.6.1 Aufgabe
		6.6.2 Aufgabe
		6.6.3 Aufgabe
		6.6.4 Aufgabe
		6.6.5 Aufgabe
		6.6.6 Aufgabe
		6.6.7 Aufgabe
		6.6.8 Aufgabe
		6.6.9 Aufgabe
		6.6.10 Aufgabe
		6.6.11 Aufgabe
		6.6.12 Aufgabe
		6.6.13 Aufgabe
		6.6.14 Aufgabe
		6.6.15 Aufgabe
		6.6.16 Aufgabe
		6.6.17 Aufgabe
7 Spezielle Relationen und gerichtete Graphen
	7.1 Äquivalenzrelationen und Partitionen
		7.1.1 Definition: Äquivalenzrelation
		7.1.2 Beispiele: Äquivalenzrelationen
		7.1.3 Definition: Partition / Zerlegung
		7.1.4 Satz: Partition ist Teilmenge der Potenzmenge
		7.1.5 Satz: Partitionen und Äquivalenzrelationen
		7.1.6 Definition: Äquivalenzklasse
		7.1.7 Satz: Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen AM und ZM
		7.1.8 Beispiele: Äquivalenzklassen
		7.1.9 Definition: Modulo-Relation
		7.1.10 Satz: Modulo-Relation ist Äquivalenzrelation
		7.1.11 Beispiele: Rechnen modulo 4 und modulo −2
		7.1.12 Satz: Modulo-Relation und ganzzahlige Division mit Rest
		7.1.13 Beispiel: Zerlegung von Z
	7.2 Ordnungsrelationen und geordnete Mengen
		7.2.1 Definition: Antisymmetrie, Linearität, Ordnung
		7.2.2 Beispiele: Ordnungen
		7.2.3 Definition: Striktordnung
		7.2.4 Beispiel: graphische Darstellung einer Ordnung
		7.2.5 Definition: extreme Elemente
		7.2.6 Satz: Eigenschaften extremer Elemente
		7.2.7 Beispiel: extreme Elemente
		7.2.8 Satz: extreme Elemente und Linearität
		7.2.9 Definition: Schranken, Supremum, Infimum
		7.2.10 Beispiel: Supremum und Infimum
		7.2.11 Definition: monotone Funktion
		7.2.12 Satz: Fixpunktsatz von A. Tarski
		7.2.13 Lemma
		7.2.14 Satz: Fixpunktsatz für monotone Funktionen auf endlichen Ordnungen
		7.2.15 Definition: supremums-distributive Funktion
		7.2.16 Lemma
		7.2.17 Lemma
		7.2.18 Satz: Fixpunktsatz von S.C. Kleene
		7.2.19 Definition: Noethersche Ordnung
		7.2.20 Satz: Noethersche Induktion
		7.2.21 Beispiel: Noethersche Induktion
		7.2.22 Satz: Existenz der ganzzahligen Division
		7.2.23 Definition: echt absteigende unendliche Kette
		7.2.24 Satz: Kettencharakterisierung Noethersch geordneter Mengen
		7.2.25 Beispiel: Terminierungsbeweis
		7.2.26 Satz: Lösung von Rekursionen
	7.3 Ordnungstheoretische Folgerungen des Auswahlaxioms
		7.3.1 Definition: Kette
		7.3.2 Definition: CPO
		7.3.3 Satz: Fixpunktsatz von N. Bourbaki und E. Witt
		7.3.4 Satz: CPOs haben maximale Elemente
		7.3.5 Satz: Maximalkettenprinzip von F. Hausdorff
		7.3.6 Lemma (M. Zorn)
	7.4 Grundbegriffe gerichteter Graphen
		7.4.1 Definition: gerichteter Graph
		7.4.2 Beispiele: gerichtete Graphen
		7.4.3 Satz: Gradformeln
		7.4.4 Beispiel: Graphen als Modelle
		7.4.5 Definition: Weg, Kreis, Erreichbarkeit, Kreisfreiheit
		7.4.6 Definition: relationale Komposition
		7.4.7 Satz: Grundeigenschaften der relationalen Komposition
		7.4.8 Beispiel: relationale Komposition
		7.4.9 Definition: transitive und reflexiv-transitive Hülle
		7.4.10 Satz: Zusammenhang zwischen den Hüllen
		7.4.11 Definition: Pfad
		7.4.12 Satz: Erreichbarkeit mittels Wegen und Pfaden
		7.4.13 Satz: Pfade und Hüllen
		7.4.14 Satz: Erreichbarkeit und Hüllen
		7.4.15 Satz: Berechnung von Hüllen
		7.4.16 Satz: Testen auf das Vorhandensein von Kreisen
		7.4.17 Beispiel: Erreichbarkeit und Kreise
		7.4.18 Satz: Induktion bei Graphen
		7.4.19 Satz: Anwendung Grapheninduktion
		7.4.20 Definition: topologische Sortierung
		7.4.21 Satz: topologische Sortierung impliziert Kreisfreiheit
	7.5 Bemerkungen zu mehrstelligen Relationen
	7.6 Übungsaufgaben
		7.6.1 Aufgabe
		7.6.2 Aufgabe
		7.6.3 Aufgabe
		7.6.4 Aufgabe
		7.6.5 Aufgabe
		7.6.6 Aufgabe
		7.6.7 Aufgabe
		7.6.8 Aufgabe
		7.6.9 Aufgabe
		7.6.10 Aufgabe
		7.6.11 Aufgabe
8 Elementare Kombinatorik und ungerichtete Graphen
	8.1 Fakultäten und Binomialkoeffizienten
		8.1.1 Definition: Fakultät
		8.1.2 Satz: rekursive Beschreibung der Fakultät
		8.1.3 Definition: Funktionenmenge
		8.1.4 Satz: Kardinalität von Funktionenmengen
		8.1.5 Satz: Kardinalitätsvergleich von Funktionenmengen
		8.1.6 Definition: Permutation
		8.1.7 Definition: Einschieben in eine Permutation
		8.1.8 Satz: Berechnung von Permutationsmengen
		8.1.9 Beispiel: Berechnung von Permutationsmengen
		8.1.10 Satz: Anzahl der bijektiven Funktionen
		8.1.11 Beispiel: Unabhängige und abdeckende Türme beim Schachspiel
		8.1.12 Definition: Binomialkoeffizient
		8.1.13 Satz (B. Pascal)
		8.1.14 Definition: Menge der k-Teilmengen
		8.1.15 Satz: Rekursion für Mengen von k-Teilmengen
		8.1.16 Satz: Anzahl der k-Teilmengen
		8.1.17 Beispiel: k-Teilmengen und Binomialkoeffizienten
		8.1.18 Satz: Binomischer Lehrsatz
	8.2 Grundbegriffe ungerichteter Graphen
		8.2.1 Definition: ungerichteter Graph
		8.2.2 Beispiel: ungerichteter Graph
		8.2.3 Definition: Nachbarschaft, Endknoten, Knotengrad
		8.2.4 Satz: Eigenschaften der Knotengrade
		8.2.5 Beispiele: Wege, Kreise und Zusammenhangskomponenten
		8.2.6 Definition: Gittergraph
		8.2.7 Satz: kürzeste Wege in Gittergraphen
		8.2.8 Definition: vollständiger Graph
		8.2.9 Satz: längste Wege in vollständigen Graphen
		8.2.10 Lemma
		8.2.11 Satz: alle Wege in vollständigen Graphen
		8.2.12 Beispiel: alle Wege in vollständigen Graphen
	8.3 Dünne ungerichtete Graphen
		8.3.1 Definition: Wald und Baum
		8.3.2 Satz: Kantenzahl in Wäldern
		8.3.3 Satz: Kantenzahl zur Charakterisierung von Bäumen
		8.3.4 Satz: alle Wege in Bäumen
		8.3.5 Beispiel: Projektion des Würfels
		8.3.6 Definition: planare linealische Graphzeichnung
		8.3.7 Definition: planarer Graph
		8.3.8 Lemma
		8.3.9 Beispiele: planare ungerichtete Graphen
		8.3.10 Beispiele: automatisches Zeichnen planarer Graphen
		8.3.11 Satz: Eulersche Polyederformel für Graphzeichnungen
		8.3.12 Satz: maximale Kantenzahl bei planaren Graphen
	8.4 Variationen des Graphenbegriffs
	8.5 Übungsaufgaben
		8.5.1 Aufgabe
		8.5.2 Aufgabe
		8.5.3 Aufgabe
		8.5.4 Aufgabe
		8.5.5 Aufgabe
		8.5.6 Aufgabe
		8.5.7 Aufgabe
		8.5.8 Aufgabe
		8.5.9 Aufgabe
		8.5.10 Aufgabe
		8.5.11 Aufgabe
		8.5.12 Aufgabe
9 Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
	9.1 Zufallsexperimente und Zufallsereignisse
		9.1.1 Definition: Elementarereignis, Ergebnisraum
		9.1.2 Definition: Zufallsereignis, Ereignisraum
		9.1.3 Beispiele: Zufallsereignisse
	9.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
		9.2.1 Definition: Wahrscheinlichkeitsverteilung
		9.2.2 Definition: Gleichverteilung
		9.2.3 Satz: Wahrscheinlichkeit bei Gleichverteilungen
		9.2.4 Beispiele: Gleichverteilungen
		9.2.5 Definition: unabhängige Zufallsereignisse
		9.2.6 Beispiele: Unabhängigkeit von Zufallsereignissen
	9.3 Die bedingte Wahrscheinlichkeit
		9.3.1 Beispiel: Motivation von bedingter Wahrscheinlichkeit
		9.3.2 Definition: bedingte Wahrscheinlichkeit
		9.3.3 Satz: bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung
		9.3.4 Satz: Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit
		9.3.5 Beispiele: bedingte Wahrscheinlichkeiten
		9.3.6 Satz: bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
		9.3.7 Satz: Unabhängigkeit und Komplemente
		9.3.8 Satz (T. Bayes)
		9.3.9 Beispiel: Anwendung des Satzes von Bayes
		9.3.10 Beispiel: Anwendung des Satzes von Bayes
	9.4 Reelwertige diskrete Zufallsvariablen
		9.4.1 Definition: Zufallsvariable
		9.4.2 Definition: Summe, Produkt
		9.4.3 Beispiele: Zufallsvariablen
		9.4.4 Definition: induzierte Zufallsereignisse
		9.4.5 Definition: unabhängige Zufallsvariablen
		9.4.6 Beispiele: induzierte Zufallsereignisse
		9.4.7 Definition: Wahrscheinlichkeitsfunktion
		9.4.8 Definition: Verteilungsfunktion
		9.4.9 Satz: Verteilungsfunktion ist Treppenfunktion
		9.4.10 Beispiel: Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
	9.5 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
		9.5.1 Definition: Erwartungswert
		9.5.2 Beispiel: Erwartungswert und Histogramm
		9.5.3 Satz: alternative Darstellung Erwartungswert
		9.5.4 Satz: fundamentale Eigenschaften des Erwartungswerts I
		9.5.5 Satz: fundamentale Eigenschaften des Erwartungswerts II
		9.5.6 Lemma
		9.5.7 Satz: fundamentale Eigenschaften des Erwartungswerts III
		9.5.8 Beispiele: Erwartungswerte
		9.5.9 Satz: Transformationssatz für Erwartungswerte
		9.5.10 Satz: Erwartungswert eines Quadrats
		9.5.11 Definition: Varianz, Standardabweichung
		9.5.12 Satz: alternative Darstellung Varianz
		9.5.13 Beispiele: Varianzen
		9.5.14 Satz: fundamentale Eigenschaften der Varianz
		9.5.15 Satz: Markovsche Ungleichung
		9.5.16 Satz: Chebychevsche Ungleichung
	9.6 Bernoulli- und binomial-verteilte Zufallsvariablen
		9.6.1 Satz: durch Zufallsvariable induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung
		9.6.2 Definition: Bernoulli-Verteilung, Bernoulli-verteilte Zufallsvariable
		9.6.3 Satz: Charakterisierung Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen
		9.6.4 Satz: Erwartungswert und Varianz Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen
		9.6.5 Definition: Binomial-Verteilung, binomial-verteilte Zufallsvariable
		9.6.6 Satz: Charakterisierung binomial-verteilter Zufallsvariablen
		9.6.7 Satz: Erwartungswert binomial-verteilter Zufallsvariablen
		9.6.8 Lemma
		9.6.9 Satz: Varianz binomial-verteilter Zufallsvariablen
		9.6.10 Beispiel: binomial-verteilte Zufallsvariable
	9.7 Hypergeometrisch-verteilte Zufallsvariablen
		9.7.1 Satz: Motivation hypergeometrische Verteilung
		9.7.2 Lemma
		9.7.3 Definition: hypergeometrische Vert., hypergeometrisch-vert. Zufallsvariable
		9.7.4 Satz: Charakterisierung hypergeometrisch-verteilter Zufallsvariablen
		9.7.5 Satz: Erwartungswert hypergeometrisch-verteilter Zufallsvariablen
		9.7.6 Satz: Varianz hypergeometrisch-verteilter Zufallsvariablen
		9.7.7 Beispiele: hypergeometrisch-verteilte Zufallsvariablen
	9.8 Ergänzungen zu abzählbaren Ergebnisräumen
	9.9 Übungsaufgaben
		9.9.1 Aufgabe
		9.9.2 Aufgabe
		9.9.3 Aufgabe
		9.9.4 Aufgabe
		9.9.5 Aufgabe
		9.9.6 Aufgabe
		9.9.7 Aufgabe
		9.9.8 Aufgabe
		9.9.9 Aufgabe
		9.9.10 Aufgabe
		9.9.11 Aufgabe
		9.9.12 Aufgabe
		9.9.13 Aufgabe
		9.9.14 Aufgabe
		9.9.15 Aufgabe
10 Anwendung: Generische Programmierung
	10.1 Einige motivierende Beispiele
		10.1.1 Definition: absorbierend, stabil, Kern
		10.1.2 Satz: Charakterisierung von Kernen I
		10.1.3 Satz: Charakterisierung von Kernen II
		10.1.4 Lemma
		10.1.5 Satz
		10.1.6 Definition: transitive Reduktion
		10.1.7 Definition: spannender Baum
		10.1.8 Satz: Charakterisierung von spannenden Bäumen
	10.2 Berechnung minimaler und maximaler Teilmengen
		10.2.1 Definition: aufwärts- bzw. abwärts-vererbend
		10.2.2 Lemma
		10.2.3 Satz: Berechnung inklusionsminimaler Mengen
		10.2.4 Satz: Berechnung inklusionsmaximaler Mengen
	10.3 Anwendungen und Erweiterungen
		10.3.1 Beispiel: Berechnung eines Kerns
		10.3.2 Beispiel: Berechnung einer kleinen Knotenüberdeckung I
		10.3.3 Satz: spezielle Knotenüberdeckung
		10.3.4 Beispiel: Berechnung einer kleinen Knotenüberdeckung II
		10.3.5 Beispiel: Berechnung eines spannenden Baums
		10.3.6 Beispiel: Modellierung einer Partition durch Bäume
		10.3.7 Beispiel: Modellierung einer Partition durch eine Funktion
		10.3.8 Beispiel: Wirkungsweise von
	10.4 Bemerkungen zum Lösen schwieriger Optimierungsprobleme
	10.5 Übungsaufgaben
		10.5.1 Aufgabe
		10.5.2 Aufgabe
		10.5.3 Aufgabe
		10.5.4 Aufgabe
		10.5.5 Aufgabe
		10.5.6 Aufgabe
		10.5.7 Aufgabe
		10.5.8 Aufgabe
		10.5.9 Aufgabe
		10.5.10 Aufgabe
		10.5.11 Aufgabe
		10.5.12 Aufgabe
11 Grundbegriffe algebraischer Strukturen
	11.1 Homogene algebraische Strukturen
		11.1.1 Definition: homogene algebraische Struktur
		11.1.2 Definition: Monoid
		11.1.3 Definition: Potenzierung
		11.1.4 Satz: Potenzgesetze
		11.1.5 Definition: Gruppe
		11.1.6 Beispiel: Kleinsche Vierergruppe
		11.1.7 Lemma
		11.1.8 Satz: Gruppen der traditionellen Auffassung nicht gleichungsdefinierbar
		11.1.9 Satz: Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
		11.1.10 Satz: Rechenregeln
		11.1.11 Schreib- und Sprechweisen
		11.1.12 Definition: Ring
		11.1.13 Beispiel: Mengenring
		11.1.14 Satz: Rechenregeln
		11.1.15 Satz: Boolesche Ringe sind kommutativ
		11.1.16 Definition: Körper
		11.1.17 Satz: Eindeutigkeit der linksinversen Elemente
	11.2 Strukturerhaltende Funktionen
		11.2.1 Beispiel: Motivation von Verträglichkeit
		11.2.2 Definition: verträgliche Funktionen
		11.2.3 Definition: Strukturisomorphismus
		11.2.4 Definition: Strukturhomomorphismus
		11.2.5 Definition: Gruppenhomomorphismus
		11.2.6 Satz: Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen
		11.2.7 Beispiele: Gruppenhomomorphismen und -isomorphismen
		11.2.8 Satz: Gruppenhomomorphismen sind Strukturhomomorphismen
		11.2.9 Definition: Ringhomomorphismus
		11.2.10 Satz: Eigenschaften von Ringhomomorphismen
		11.2.11 Beispiele: Ringhomomorphismen und -isomorphismen
		11.2.12 Satz: Ringhomomorphismen sind Strukturhomomorphismen
		11.2.13 Beispiel: Strukturen und Homomorphismen
	11.3 Unterstrukturen
		11.3.1 Definition: abgeschlossene Teilmenge
		11.3.2 Definition: Unterstruktur
		11.3.3 Festlegung: Einschränkungen von Operationen
		11.3.4 Definition: Untergruppe
		11.3.5 Satz: Untergruppen sind Unterstrukturen
		11.3.6 Beispiele: Untergruppen
		11.3.7 Satz: Durchschnitt von Untergruppen
		11.3.8 Definition: Unterring
		11.3.9 Satz: Unterringe sind Unterstrukturen
		11.3.10 Beispiele: Unterringe
		11.3.11 Satz: Durchschnitt von Unterringen
		11.3.12 Definition: zyklische Gruppe
		11.3.13 Satz: Beschreibung zyklischer Gruppen
		11.3.14 Korollar
		11.3.15 Satz: Untergruppen zyklischer Gruppen sind zyklisch
	11.4 Produkt- und Quotientenstrukturen
		11.4.1 Definition: Produktstruktur
		11.4.2 Satz: Produktgruppe
		11.4.3 Satz: Produktring
		11.4.4 Beispiel: Produktring
		11.4.5 Beispiele: Produkte von Körpern
		11.4.6 Beispiel: Motivation von Vertreterunabhängigkeit
		11.4.7 Definition: Verträglichkeit
		11.4.8 Definition: Kongruenz
		11.4.9 Definition: Quotientenstruktur
		11.4.10 Satz: Quotientengruppe
		11.4.11 Satz: Quotientenring
		11.4.12 Satz: Modulo-Relation ist eine Kongruenz
		11.4.13 Beispiele: Quotientenringe der ganzen Zahlen
		11.4.14 Lemma (E. Bezout)
		11.4.15 Satz: Quotientenringe modulo Primzahlen
	11.5 Der Körper der komplexen Zahlen
		11.5.1 Definition und Satz: additive Gruppe der komplexe Zahlen
		11.5.2 Definition: Multiplikation und Einselement
		11.5.3 Lemma
		11.5.4 Satz: Ring der komplexen Zahlen
		11.5.5 Satz: Körper der komplexen Zahlen
		11.5.6 Definition: weitere Funktionen
		11.5.7 Satz: Strukturerhaltung
		11.5.8 Satz: Rechenregeln
		11.5.9 Satz: Dreiecksungleichung
		11.5.10 Satz: Einbettung der reellen Zahlen
		11.5.11 Beispiel: Dualität
	11.6 Einige Ergänzungen zum mathematischen Strukturbegriff
	11.7 Übungsaufgaben
		11.7.1 Aufgabe
		11.7.2 Aufgabe
		11.7.3 Aufgabe
		11.7.4 Aufgabe
		11.7.5 Aufgabe
		11.7.6 Aufgabe
		11.7.7 Aufgabe
		11.7.8 Aufgabe
		11.7.9 Aufgabe
		11.7.10 Aufgabe
		11.7.11 Aufgabe
		11.7.12 Aufgabe
		11.7.13 Aufgabe
		11.7.14 Aufgabe
		11.7.15 Aufgabe
12 Formale Einführung der natürlichen Zahlen
	12.1 Axiomatische Einführung mittels Peano-Strukturen
		12.1.1 Definition: Peano-Struktur
		12.1.2 Satz: rekursive Beschreibung
		12.1.3 Satz: Induktion bei Peano-Strukturen
		12.1.4 Satz: Rekursionssatz von R. Dedekind
	12.2 Eindeutigkeit und Existenz von Peano-Strukturen
		12.2.1 Satz: Isomorphiesatz von R. Dedekind
		12.2.2 Unendlichkeitsaxiom (E. Zermelo)
		12.2.3 Satz: kleinste induktive Menge
		12.2.4 Lemma
		12.2.5 Lemma
		12.2.6 Satz: Existenz einer Peano-Struktur
		12.2.7 Festlegung: Schreib- und Sprechweisen
	12.3 Arithmetische Operationen
		12.3.1 Definition: Addition
		12.3.2 Satz: Eigenschaften der Addition I
		12.3.3 Satz: Eigenschaften der Addition II
		12.3.4 Satz: Eigenschaften der Addition III
		12.3.5 Definition: Multiplikation
		12.3.6 Satz: Distributivgesetze
		12.3.7 Satz: Eigenschaften der Multiplikation I
		12.3.8 Satz: Eigenschaften der Multiplikation II
		12.3.9 Satz: Eigenschaften der Multiplikation III
	12.4 Die Standard-Ordnungsrelation der natürlichen Zahlen
		12.4.1 Satz: Ordnungs-Eigenschaft
		12.4.2 Satz: Eigenschaften der Ordnung I
		12.4.3 Satz: Eigenschaften der Ordnung II
		12.4.4 Satz: Eigenschaften der Ordnung III
		12.4.5 Satz: Eigenschaften der Ordnung IV
	12.5 Zur Definition der restlichen Zahlenbereiche
	12.6 Übungsaufgaben
		12.6.1 Aufgabe
		12.6.2 Aufgabe
		12.6.3 Aufgabe
		12.6.4 Aufgabe
		12.6.5 Aufgabe
		12.6.6 Aufgabe
		12.6.7 Aufgabe
		12.6.8 Aufgabe
		12.6.9 Aufgabe
		12.6.10 Aufgabe
13 Grundbegriffe der linearen Algebra
	13.1 Vektorräume, Untervektorräume und Erzeugendensysteme
		13.1.1 Definition: Vektorraum
		13.1.2 Beispiele: Vektorräume
		13.1.3 Satz: Rechenregeln
		13.1.4 Definition: Untervektorraum
		13.1.5 Beispiele: Untervektorräume
		13.1.6 Satz: Durchschnitt von Untervektorräumen
		13.1.7 Definition: erzeugter Untervektorraum, lineare Hülle, Erzeugendensystem
		13.1.8 Lemma
		13.1.9 Satz: Beschreibung der linearen Hülle
		13.1.10 Definition: Linearkombination
		13.1.11 Satz: Umformen von Linearkombinationen
		13.1.12 Korollar
	13.2 Lineare Unabhängigkeit und Basen
		13.2.1 Definition: lineare Unabhängigkeit, lineare Abhängigkeit
		13.2.2 Beispiele: linear unabhängige bzw. abhängige Mengen
		13.2.3 Satz: linear unabhängige Erzeugendensysteme
		13.2.4 Definition: Basis
		13.2.5 Satz: Basisergänzungssatz
	13.3 Endliche Basen und die Dimension eines Vektorraums
		13.3.1 Satz: endliche Basen und eindeutige Linearkombination-Darstellung
		13.3.2 Satz: endliche Basen und Kardinalität
		13.3.3 Lemma: Austauschlemma
		13.3.4 Satz: Austauschsatz von E. Steinitz
		13.3.5 Korollar
		13.3.6 Definition: Dimension
		13.3.7 Beispiele: Dimensionen
		13.3.8 Satz: Dimension von Untervektorräumen
	13.4 Strukturerhaltende Funktionen
		13.4.1 Definition: Vektorraumhomomorphismus
		13.4.2 Satz: Eigenschaften von linearen Abbildungen
		13.4.3 Satz: Gleichheit von linearen Abbildungen
		13.4.4 Satz: Untervektorraum der linearen Abbildungen
		13.4.5 Satz: Rechenregeln
		13.4.6 Satz: Fortsetzung der Isomorphie auf Vektorräume linearer Abbildungen
		13.4.7 Satz: Festlegung linearer Abbildungen durch Werte auf einer Basis
		13.4.8 Beispiel: Drehung in der Euklidschen Ebene
		13.4.9 Satz: Isomorphie aller n-dimensionalen K-Vektorräume
		13.4.10 Lemma
		13.4.11 Satz: Isomorphie und Dimension
		13.4.12 Definition: Kern und Bild
		13.4.13 Beispiele: Kerne und Bilder
		13.4.14 Satz: Eigenschaften von Kern und Bild
		13.4.15 Satz: Dimensionsformel
		13.4.16 Korollar
	13.5 Matrizen und lineare Abbildungen
		13.5.1 Definition: K-Matrix
		13.5.2 Beispiele: Matrizen
		13.5.3 Satz: Dimension des Vektorraums der m ×n K-Matrizen
		13.5.4 Definition: Komposition von Matrizen
		13.5.5 Satz: Rechenregeln
		13.5.6 Satz: Assoziativität der Komposition
		13.5.7 Satz: Matrizenring
		13.5.8 Definition: Transposition von Matrizen
		13.5.9 Satz: Transposition und Komposition
		13.5.10 Satz: Lineare Abbildungen und Matrizen
		13.5.11 Beispiele: Beziehungen zwischen linearen Abbildungen und Matrizen
		13.5.12 Definition: Spaltenmenge und Rang einer Matrix
		13.5.13 Satz: Bijektivität von Lin(MT)
		13.5.14 Satz: Rang verändert sich bei Transposition nicht
	13.6 Lineare Gleichungssysteme
		13.6.1 Definition: Lineares Gleichungssystem
		13.6.2 Beispiele: Lineare Gleichungssysteme
		13.6.3 Satz: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
		13.6.4 Satz: eindeutige Lösung
		13.6.5 Satz (L. Kronecker und A Capelli)
		13.6.6 Satz: Lösungsmenge und Untervektorraum
		13.6.7 Satz: Darstellung der Lösungen
		13.6.8 Definition: Elementare Zeilenumformungen
		13.6.9 Satz: Elementare Zeilenumformungen erhalten Lösungsmenge
		13.6.10 Beispiel: Gaußsches Eliminations-Verfahren
		13.6.11 Lemma
		13.6.12 Satz: Elementare Zeilenumformungen erhalten Rang
	13.7 Einige Bemerkungen zum Gaußschen Eliminations-Verfahren
	13.8 Übungsaufgaben
		13.8.1 Aufgabe
		13.8.2 Aufgabe
		13.8.3 Aufgabe
		13.8.4 Aufgabe
		13.8.5 Aufgabe
		13.8.6 Aufgabe
		13.8.7 Aufgabe
		13.8.8 Aufgabe
		13.8.9 Aufgabe
		13.8.10 Aufgabe
		13.8.11 Aufgabe
		13.8.12 Aufgabe
14 Anhang: Lösungsvorschläge zu den Übungsaufgaben
15 Anhang: Einige Literaturhinweise
Index