Mathematik für Chemiker

Inhaltsverzeichnis
Vorwort  XI
Definitionen und Aussagen  XV
1  Mathematische Grundlagen  1
1.1  Die Sprache der  Mathematik  1
1.2  Mengenlehre  3
1.3  Zahlen  6
1.4  Einige Rechenregeln  12
1.5  Kombinatorik  24
2  Lineare Algebra  23
2.1  Matrizen  23
2.2  Lineare Gleichungssysteme  und  Gauß-Algorithmus  30
2.3  Determinanten  36
2.3.1  Definition  36
2.3.2  Rechenregeln  40
2.3.3  Berechnung  von  Determinanten  42
2.4  Lineare  Unabhängigkeit  und  Rang einer  Matrix  45
2.4.1  Lineare  Unabhängigkeit  45
2.4.2  Rang einer  Matrix  46
2.5  Lösungstheorie  linearer  Gleichungssysteme  48
2.5.1  Lösbarkeit linearer  Gleichungssysteme  48
2.5.2  Berechnung  der  Inversen  einer  Matrix  52
3  Unendliche Zahlenfolgen und Reihen  57
3.1  Unendliche  Zahlenfolgen  57
3.1.1  Definitionen  und  Beispiele  57
3.1.2  Konvergenz  einer  Zahlenfolge  59
3.1.3  Das Rechnen mit  Grenzwerten  61
3.2  Unendliche  Reihen  65
3.2.1  Definitionen  und  Beispiele  65
3.2.2  Konvergenzkriterien  68
3.2.3  Das Rechnen mit unendlichen  Reihen  70
3.2.4  Potenzreihen  72
4  Funktionen  75
4.1  Erläuterung  des  Funktionsbegriffes  75
4.2  Funktionen  einer Variablen  76
4.2.1  Darstellung  76
4.2.2  Interpolation  und  Extrapolation  78
4.2.3  Umkehrung  und implizite  Darstellung einer  Funktion  79
4.2.4  Wichtige Begriffe  zur Charakterisierung  von Funktionen  80
4.2.5  Einige spezielle Funktionen  82
4.2.6  Stetigkeit  93
4-2.7  Funktionenfolgen  95
4.3  Funktionen mehrerer Variablen  98
4.3.1  Darstellung  98
4.3.2  Definitionsbereiche  103
4.3.3  Stetigkeit  104
5  Vektoralgebra  107
5.1  Rechnen mit Vektoren  107
5.1.1  Definition  eines Vektors  107
5.1.2  Rechenregeln für Vektoren  109
5.1.3  Skalarprodukt  113
5.1.4  Vektorprodukt  114
5.1.5  Spatprodukt  117
5.2  Darstellung von Vektoren in verschiedenen  Basen  120
5.2.1  Lineare Unabhängigkeit  von Vektoren  120
5.2.2  Basis im R3 und Basiswechsel  123
5.2.3  Orthonormalbasis  127
6  Analytische Geometrie  131
6.1  Analytische  Darstellung von Kurven und  Flächen  131
6.1.1  Darstellung  durch  Gleichungen  in x, y und z  132
6.1.2  Parameterdarstellung  340
6.2  Lineare Abbildungen  143
6.2.1  Definitionen  143
6.2.2  Eigenwerte und  Eigenvektoren  145
6.2.3  Drehungen und  Spiegelungen  148
6.3  Koordinatentransformationen  155
6.3.1  Lineare Transformationen  155
6.3.2  Transformation  auf krummlinige  Koordinaten  161
7  Differentiation  und Integration einer  Funktion einer Variablen  167
71  Differentiation  167
7.1.1  Die  erste  Ableitung  einer  Funktion  167
7.1.2  Rechenregeln  für  das  Differenzieren  171
7.1.3  Differentiation  einiger  Funktionen  175
7.1.4  Differentiation  komplexwertiger  Funktionen  178
7.1.5  Höhere  Ableitungen  182
7.1.6  Mittelwertsatz  der  Differentialrechnung  183
7.1.7  Anwendungen  184
7.2  Integration  von  Funktionen  188
7.2.1  Das  bestimmte  Integral  188
7.2.2  Das  unbestimmte  Integral  194
7.2.3  Integrationsmethoden  197
72.4  Uneigentliche  Integrale  205
7.2.5  Anwendungen  208
7.3  Differentiation  und  Integration  von  Funktionenfolgen  213
7.4  Die  Taylor-Formel  216
7.5  Unbestimmte  Ausdrücke:  Regel  von  de  1' Hospital  223
7.6  Kurvendiskussion  228
7.6.1  Definitionen  228
7.6.2  Bestimmung  von  Nullstellen  230
7.6.3  Bestimmung  von  Extrema  232
7.6.4  Bestimmung  von  Wendepunkten  und  Sattelpunkten  235
7.6.5  Durchführung  der  Kurvendiskussion  235
8  Differentiation  und Integration von Funktionen  mehrerer Variablen  239
8.1  Differentiation  239
8.1.1  Die partielle Ableitung  239
8.1.2  Höhere  Ableitungen  und  der  Satz von  Schwarz  243
8.1.3  Existenz  einer Tangentialebene  245
8.1.4  Das totale Differential  246
8.1.5  Die Kettenregel  248
8.1.6  Differentiation  impliziter  Funktionen  251
8.1.7  Partielle Ableitungen  in der Thermodynamik  254
8.2  Einfache  Integrale  257
8.3  Bereichsintegrale  260
8.3.1  Definition  des  zweidimensionalen  Bereichsintegrals  260
8.3.2  Berechnung  des  zweidimensionalen  Bereichsintegrals  262
8.3.3  Allgemeine  Bereichsintegrale  265
8.3.4  Transformationsformel  267
8.3.5  Berechnung von Volumina  und  Oberflächen  272
8.4  Kurvenintegrale  280
8.4.1  Definition  und  Berechnung  280
8.4.2  Wegunabhängigkeit  des allgemeinen  Kurvenintegrals  284
8.4.3  Vollständiges und  unvollständiges  Differential  287
8.4.4  Satz von Gauß  im R2  289
8.5  Oberflächenintegrale  292
8.6  Die Taylor-Formel  295
8.7  Extremwerte  298
8.7.1  Definitionen  298
8.7.2  Bestimmung  von  Extremwerten  und  Sattelpunkten  299
8.7.3  Bestimmung von  Extremwerten  unter  Nebenbedingungen  302
9  Vektoranalysis und Tensorrechnung  309
9.1  Vektoranalysis  309
9.1.1  Vektor- und  Skalarfelder  309
9.1.2  Der Gradient  311
9.1.3  Konservative Vektorfelder  314
9.1.4  Die Divergenz und  der  Satz von  Gauß  im  R3  316
9.1.5  Die Rotation und  der  Satz von  Stokes  319
9.1.6  Rechenregeln  322
9.1.7  Krummlinige  Koordinaten  324
9.2  Tensorrechnung  329
9.2.1  Tensoren  zweiter  Stufe  329
9.2.2  Tensorellipsoide  333
9.2.3  Tensoren höherer  Stufe  335
10  Fourier-Reihen und Fourier-Transformation  337
10.1  Fourier-Reihen  337
10.1.1  Reelle Fourier-Reihen  337
10.1.2  Komplexe  Fourier-Reihen  343
10.1.3  Fourier-Reihe  einer  Funktion  in mehreren  Variablen  345
10.2  Fourier-Transformation  347
10.2.1  Definitionen  347
10.2.2  Beispiele  351
10.2.3  Eigenschaften  355
10.2.4  Anwendungen  in  der  Chemie  365
10.3  Orthonormalsysteme  375
11  Gewöhnliche Differentialgleichungen  381
11.1  Beispiele und  Definitionen  381
11.2  Differentialgleichungen  erster  Ordnung  388
11.2.1  Richtungsfeld,  Existenz und  Eindeutigkeit von Lösungen  388
11.2.2  Trennung  der Variablen  391
11.2.3  Lineare  Differentialgleichungen  392
11.2.4  Systeme homogener  linearer  Differentialgleichungen  396
11.2.5  Systeme inhomogener  linearer  Differentialgleichungen  406
11.2.6  Exakte Differentialgleichungen  409
11.3  Lineare Differentialgleichungen  höherer  Ordnung  414
11.3.1  Allgemeines über die Existenz von Lösungen  414
11.3.2  Die ungedämpfte  freie  Schwingung  417
11.3.3  Die gedämpfte  freie  Schwingung  423
11.3.4  Die erzwungene  Schwingung  426
11.3.5  Systeme von Differentialgleichungen  zweiter Ordnung  429
11.4  Spezielle lineare Differentialgleichungen  zweiter Ordnung  434
11.4.1  Potenzreihenansatz  434
11.4.2  Die Legendre-Differentialgleichung  437
11.4.3  Die Laguerre-Differentialgleichung  443
11.4.4  Die Bessel-Differentialgleichung  446
12  Partielle Differentialgleichungen  451
12.1  Definition  und  Beispiele  451
12.2  Die Potentialgleichung  454
12.2.1  Lösung durch  Fourier-Transformation  454
12.2.2  Lösung durch  Fourier-Reihenansatz  456
12.2.3  Lösung in Polarkoordinaten  459
12.3  Die Wärmeleitungsgleichung  461
12.3.1  Lösung durch  Fourier-Transformation  461
12.3.2  Lösung durch  Separationsansatz  462
12.4  Die Wellengleichung  465
12.4.1  Lösung durch  Separationsansatz  465
12.4.2  Allgemeine  Lösungsformel  468
12.4.3  Die schwingende  Membran  470
12.5  Die Schrödinger-Gleichung  475
12.5.1  Die stationäre Gleichung  475
12.5.2  Der harmonische  Oszillator  476
12.5.3  Das Wasserstoffatom  480
13  Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik  489
13.1  Einführung  489
13.1.1  Quantenmechanische  Begriffe  489
13.1.2  Axiomatik der Quantenmechanik  493
13.2  Hilberträume  496
13.2.1  Sobolevräume  496
13.2.2  Vollständige Orthonormalsysteme  500
13.2.3  Lineare Operatoren  503
13.2.4  Dualräume und  Dirac-Notation  505
13.3  Beschränkte lineare Operatoren  509
13.3.1  Definition  und  Beispiele  509
13.3.2  Projektoren  511
13.3.3  Symmetrische Operatoren  524
13.4  Unbeschränkte lineare Operatoren  521
13.4.1  Selbstadjungierte  Operatoren  521
13.4.2  Die Heisenbergsche  Unschärferelation  526
13.4.3  Spektraldarstellung  selbstadjungierter  Operatoren  527
13.5  Zeitentwicklung  quantenmechanischer  Systeme  535
14  Wahrscheinlichkeitsrechnung  539
14.1  Einleitung  539
14.1.1  Aufgaben  der Wahrscheinlichkeitsrechnung  539
14.1.2  Der  Ereignisraum  540
14.1.3  Zufallsgrößen  542
14.2  Diskrete  Zufallsgrößen  543
14.2.1  Statistische  Definition  der Wahrscheinlichkeit  543
14.2.2  Summe von  Ereignissen  545
14.2.3  Bedingte Wahrscheinlichkeit  547
14.2.4  Produkt von  Ereignissen  550
14.2.5  Totale Wahrscheinlichkeit  550
14.3  Kontinuierliche  Zufallsgrößen  553
14.3.1  Wahrscheinlichkeitsdichte  553
14.3.2  Verteilungsfunktion  554
14.4  Kette von unabhängigen  Versuchen  560
14.4.1  Herleitung  der exakten  Gleichungen  560
14.4.2  Diskussion  der  Funktion  P n (m)  562
14.4.3  Näherungsgesetze  für  große  n  563
14.4.4  Markowsche  Ketten  568
14.5  Stochastische  Prozesse  574
14.5.1  Definitionen  574
14.5.2  Der  Poisson-Prozeß  575
15  Fehler- und Ausgleichsrechnung  579
15.1  Zufällige  und  systematische  Fehler  579
15.2  Mittelwert und  Fehler der  Einzelmessungen  580
15.2.1  Verteilung  der  Meßwerte und  Mittelwert  580
15.2.2  Mittlerer  Fehler der  Einzelmessungen  582
15.2.3  Wahrscheinlicher  Fehler der  Einzelmessung  583
15.2.4  Praktische  Durchführung  der  Rechnungen  584
15.3  Fehlerfortpflanzung  586
15.3.1  Maximaler  Fehler  586
15.3.2  Fortpflanzung  des mittleren  Fehlers  587
15.3.3  Mittlerer  Fehler des Mittelwertes  590
15.4  Ausgleichsrechnung  591
Antworten und Lösungen  595
Literaturverzeichnis  627
Stichwortverzeichnis  631