Mathematik

Vorwort
Bemerkungen für Dozenten zur 1. Auflage
Inhaltsverzeichnis
Verzeichnis der Übersichten
Verzeichnis der Vertiefungen mit Matlab®- und R-Programmen
Die Autoren
Teil I Einführung und Grundlagen
	1 Mathematik – Wissenschaft und Werkzeug
		1.1 Über dieses Lehrbuch, Mathematiker und Mathematik
		1.2 Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
		1.3 Die didaktischen Elemente dieses Buches
		1.4 Ratschläge zum Studium der Höheren Mathematik
	2 Logik, Mengen, Abbildungen – die Sprache der Mathematik
		2.1 Eine beweisende Wissenschaft
		2.2 Grundbegriffe der Aussagenlogik
		2.3 Definition, Satz, Beweis
		2.4 Elementare Mengenlehre
		2.5 Zahlenmengen
		2.6 Abbildungen
		2.7 Mächtigkeit von Mengen
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	3 Rechentechniken – die Werkzeuge der Mathematik
		3.1 Terme, Brüche und Potenzen
		3.2 Gleichungen und Ungleichungen
		3.3 Von Betrag und Abschätzungen
		3.4 Summen und Produkte
		3.5 Die vollständige Induktion
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	4 Elementare Funktionen – Bausteine der Analysis
		4.1 Reellwertige Funktionen einer Veränderlichen
		4.2 Polynome
		4.3 Die Exponentialfunktion
		4.4 Trigonometrische Funktionen
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	5 Komplexe Zahlen – Rechnen mit imaginären Größen
		5.1 Die Menge der komplexen Zahlen
		5.2 Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen
		5.3 Mengen und Transformationen in der komplexen Ebene
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
Teil II Analysis einer reellen Variablen
	6 Folgen – der Weg ins Unendliche
		6.1 Der Begriff einer Folge
		6.2 Elementare Eigenschaften von Zahlenfolgen
		6.3 Konvergenz
		6.4 *Teilfolgen und Häufungspunkte
		6.5 Konvergenzkriterien
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	7 Stetige Funktionen – kleine Ursachen haben kleine Wirkungen
		7.1 Zur Definition von Funktionen
		7.2 Beschränkte und monotone Funktionen
		7.3 Die Umkehrfunktion
		7.4 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit
		7.5 Kompakte Mengen
		7.6 Sätze über reellwertige, stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	8 Reihen – Summieren bis zum Letzten
		8.1 Die Idee der Reihen
		8.2 Kriterien für Konvergenz
		8.3 Absolute Konvergenz
		8.4 Kriterien für absolute Konvergenz
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	9 Potenzreihen – Alleskönner unter den Funktionen
		9.1 Definition und Grundlagen
		9.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen
		9.3 Die Exponentialfunktion
		9.4 Trigonometrische Funktionen
		9.5 Der Logarithmus für komplexe Argumente
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	10 Differenzialrechnung – Veränderungen kalkulieren
		10.1 Die Ableitung
		10.2 Differenziationsregeln
		10.3 Verhalten differenzierbarer Funktionen
		10.4 Taylorreihen
		10.5 Spline-Interpolation
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	11 Integrale – vom Sammeln und Bilanzieren
		11.1 Das Lebesgue-Integral
		11.2 Stammfunktionen
		11.3 Integrale über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen
		11.4 Geometrische Anwendungen des Integrals
		11.5 Parameterintegrale
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	12 Integrationstechniken – Tipps, Tricks und Näherungsverfahren
		12.1 Grundtechniken
		12.2 Partielle Integration
		12.3 Substitutionsmethode
		12.4 Integration rationaler Funktionen
		12.5 Numerische Integration
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	13 Differenzialgleichungen – Zusammenspiel von Funktionen und ihren Ableitungen
		13.1 Begriffsbildungen
		13.2 Numerische Lösungsmethoden
		13.3 Analytische Lösungsmethoden
		13.4 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
Teil III Lineare Algebra
	14 Lineare Gleichungssysteme – Grundlage der linearen Algebra
		14.1 Erste Lösungsversuche
		14.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan
		14.3 Das Lösungskriterium und Anwendungen
		14.4 Numerische Lösungsmethoden linearer Gleichungssysteme
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	15 Vektorräume – Schauplätze der linearen Algebra
		15.1 Der Vektorraumbegriff
		15.2 Beispiele von Vektorräumen
		15.3 Untervektorräume
		15.4 Basis und Dimension
		15.5 Affine Teilräume
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	16 Matrizen und Determinanten – Zahlen in Reihen und Spalten
		16.1 Addition und Multiplikation von Matrizen
		16.2 Das Invertieren von Matrizen
		16.3 Symmetrische und orthogonale Matrizen
		16.4 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme
		16.5 Einführung in die Determinanten
		16.6 Definition und Eigenschaften der Determinante
		16.7 Anwendungen der Determinante
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	17 Lineare Abbildungen und Matrizen – abstrakte Sachverhalte in Zahlen ausgedrückt
		17.1 Ein einführendes Beispiel
		17.2 Definition einer linearen Abbildung und Beispiele
		17.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel
		17.4 Darstellungsmatrizen
		17.5 Basistransformation
		17.6 Determinanten von Endomorphismen
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	18 Eigenwerte und Eigenvektoren – oder wie man Matrizen diagonalisiert
		18.1 Das Diagonalisieren von Matrizen
		18.2 Eigenwerte und Eigenvektoren
		18.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren
		18.4 Diagonalisierbarkeit von Matrizen
		18.5 Diagonalisierung symmetrischer und hermitescher Matrizen
		18.6 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
		18.7 Die Exponentialfunktion für Matrizen
		18.8 *Die Jordan-Normalform einer Matrix
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	19 Analytische Geometrie – Rechnen statt Zeichnen
		19.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum
		19.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum
		19.3 Weitere Vektorverknüpfungen im Anschauungsraum
		19.4 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	20 Euklidische und unitäre Vektorräume – Geometrie in höheren Dimensionen
		20.1 Euklidische Vektorräume
		20.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität
		20.3 Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente
		20.4 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme
		20.5 Unitäre Vektorräume
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	21 Quadriken – ebenso nützlich wie dekorativ
		21.1 Symmetrische Bilinearformen
		21.2 Hermitesche Sesquilinearformen
		21.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation
		21.4 Die Singulärwertzerlegung
		21.5 *Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	22 Tensoren – geschicktes Hantieren mit Indizes
		22.1 Einführung in die Tensoralgebra
		22.2 Kartesische Tensoren
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	23 Lineare Optimierung – ideale Ausnutzung von Kapazitäten
		23.1 Typische Problemstellungen
		23.2 Sonderfälle von Optimierungsproblemen
		23.3 Definitionen und Theorie
		23.4 Wandern von Ecke zu Ecke
		23.5 Das Simplexverfahren
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
Teil IV Analysis mehrerer reeller Variablen
	24 Funktionen mehrerer Variablen – Differenzieren im Raum
		24.1 Wozu Funktionen von mehreren Variablen?
		24.2 Stetigkeit
		24.3 Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit
		24.4 Funktionen RnRm
		24.5 Der Hauptsatz über implizite Funktionen
		24.6 Extremwertaufgaben
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	25 Gebietsintegrale – das Ausmessen von Körpern
		25.1 Definition und Eigenschaften
		25.2 Volumen, Masse und Schwerpunkt
		25.3 Die Transformationsformel
		25.4 Wichtige Koordinatensysteme
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	26 Kurven und Flächen – von Krümmung, Torsion und Längenmessung
		26.1 Ebene Kurven
		26.2 Die Bogenlänge von Kurven
		26.3 Die Krümmung ebener Kurven
		26.4 Raumkurven
		26.5 Darstellung von Flächen
		26.6 Basissysteme krummliniger Koordinaten
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	27 Vektoranalysis – von Quellen und Wirbeln
		27.1 Skalar- und Vektorfelder
		27.2 Differenzialoperatoren
		27.3 Kurvenintegrale
		27.4 Oberflächenintegrale
		27.5 Integralsätze
		27.6 Differenzialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	28 Differenzialgleichungssysteme – ein allgemeiner Zugang zu Differenzialgleichungen
		28.1 Definition und qualitatives Lösungsverhalten
		28.2 Existenz von Lösungen
		28.3 *Die Herleitung des Satzes von Picard-Lindelöf
		28.4 Die Lösung linearer Differenzialgleichungssysteme
		28.5 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme: Konvergenz, Konsistenz und Stabilität
		28.6 Randwertprobleme: Theorie und numerische Verfahren
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	29 Partielle Differenzialgleichungen – Modelle von Feldern und Wellen
		29.1 Klassifizierung partieller Differenzialgleichungen
		29.2 Separationsansätze
		29.3 Quasilineare partielle Differenzialgleichungen erster Ordnung
		29.4 Potenzialtheorie
		29.5 Die Methode der finiten Elemente
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
Teil V Höhere Analysis
	30 Fouriertheorie – von schwingenden Saiten
		30.1 Trigonometrische Polynome
		30.2 Approximation im quadratischen Mittel
		30.3 Fourierreihen
		30.4 Die diskrete Fouriertransformation
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	31 Funktionalanalysis – Operatoren wirken auf Funktionen
		31.1 Normierte Räume, Banachräume, Hilberträume
		31.2 Lineare, beschränkte Operatoren und Funktionale
		31.3 Funktionale und Distributionen
		31.4 Operatoren in Hilberträumen
		31.5 *Approximation von Operatoren
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	32 Funktionentheorie – von komplexen Zusammenhängen
		32.1 Komplexe Funktionen und Differenzierbarkeit
		32.2 Komplexe Kurvenintegrale
		32.3 Laurent-Reihen und Residuensatz
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	33 Integraltransformationen – Multiplizieren statt Differenzieren
		33.1 Transformation von Funktionen
		33.2 Die Laplacetransformation
		33.3 Die Fouriertransformation
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	34 Spezielle Funktionen – nützliche Helfer
		34.1 Die Gammafunktion
		34.2 Differenzialgleichungen aus Separationsansätzen
		34.3 Das Sturm-Liouville-Problem
		34.4 Orthogonalpolynome und Kugelfunktionen
		34.5 Zylinderfunktionen
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	35 Optimierung und Variationsrechnung – Suche nach dem Besten
		35.1 Optimierungsaufgaben
		35.2 Optimierung unter Nebenbedingungen
		35.3 Variationsrechnung
		35.4 Numerische Verfahren zur Optimierung
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
Teil VI Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
	36 Deskriptive Statistik – wie man Daten beschreibt
		36.1 Grundbegriffe
		36.2 Darstellungsformen
		36.3 Lageparameter
		36.4 Streuungsparameter
		36.5 Strukturparameter
		36.6 Mehrdimensionale Verteilungen
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	37 Wahrscheinlichkeit – die Gesetze des Zufalls
		37.1 Wahrscheinlichkeits-Axiomatik
		37.2 Die bedingte Wahrscheinlichkeit
		37.3 Die stochastische Unabhängigkeit
		37.4 Kombinatorik
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	38 Zufällige Variable – der Zufall betritt den R1
		38.1 Der Begriff der Zufallsvariablen
		38.2 Erwartungswert und Varianz einer zufälligen Variablen
		38.3 Das Gesetz der großen Zahlen und der Hauptsatz der Statistik
		38.4 Mehrdimensionale zufällige Variable
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	39 Spezielle Verteilungen – Modelle des Zufalls
		39.1 Spezielle diskrete Verteilungsmodelle
		39.2 Stetige Verteilungen
		39.3 Die Normalverteilungsfamilie
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	40 Schätz- und Testtheorie – Bewerten und Entscheiden
		40.1 Grundaufgaben der induktiven Statistik
		40.2 Die Likelihood und der Maximum-Likelihood-Schätzer
		40.3 Die Güte einer Schätzung
		40.4 Konfidenzintervalle
		40.5 Grundprinzipien der Testtheorie
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
	41 Lineare Regression – die Suche nach Abhängigkeiten
		41.1 Die Ausgleichsgeraden
		41.2 Das Regressionsmodell
		41.3 Schätzen und Testen im linearen Modell
		41.4 Die lineare Einfachregression
		41.5 Fallstricke im linearen Modell
		Zusammenfassung
		Aufgaben
		Antworten zu den Selbstfragen
Hinweise zu den Aufgaben
Lösungen zu den Aufgaben
Bildnachweis
Symbolglossar
Sachverzeichnis