Mathematics for physics: A guided tour for graduate students

Cover......Page 1
Half-title......Page 3
Title......Page 5
Copyright......Page 6
Dedication......Page 7
Contents......Page 9
Preface......Page 13
Acknowledgments......Page 15
1.2 Functionals......Page 17
1.2.1 The functional derivative......Page 18
1.2.2 The Euler–Lagrange equation......Page 19
1.2.3 Some applications......Page 20
1.2.4 First integral......Page 25
1.3 Lagrangian mechanics......Page 26
1.3.1 One degree of freedom......Page 27
1.3.2 Noether’s theorem......Page 30
1.3.4 Continuous systems......Page 33
Maxwell’s equations......Page 38
Continuum mechanics......Page 41
1.4 Variable endpoints......Page 43
1.5 Lagrange multipliers......Page 48
1.6 Maximum or minimum?......Page 52
1.7 Further exercises and problems......Page 54
2.1 Motivation......Page 66
2.2 Norms and inner products......Page 67
2.2.1 Norms and convergence......Page 68
2.2.2 Norms from integrals......Page 69
2.2.3 Hilbert space......Page 71
Best approximation......Page 75
Parseval’s theorem......Page 76
2.2.4 Orthogonal polynomials......Page 78
Legendre polynomials......Page 79
Hermite polynomials......Page 80
Tchebychef polynomials......Page 81
2.3 Linear operators and distributions......Page 82
2.3.1 Linear operators......Page 83
2.3.2 Distributions and test-functions......Page 85
Weak derivatives......Page 90
2.4 Further exercises and problems......Page 92
3.1.1 Flows for first-order equations......Page 102
3.1.2 Linear independence......Page 104
3.1.3 The Wronskian......Page 105
3.2 Normal form......Page 109
3.3.1 Particular integral and complementary function......Page 110
3.3.2 Variation of parameters......Page 111
3.4.1 Regular singular points......Page 113
3.5 Further exercises and problems......Page 114
4.1.1 The algebra of formal operators......Page 117
4.1.2 Concrete operators......Page 118
4.2.1 The formal adjoint......Page 120
4.2.2 A simple eigenvalue problem......Page 124
4.2.3 Adjoint boundary conditions......Page 126
4.2.4 Self-adjoint boundary conditions......Page 127
Deficiency indices and self-adjoint extensions......Page 129
Physics application: Semiconductor heterojunction......Page 130
4.3.1 Discrete spectrum......Page 133
Rayleigh–Ritz and completeness......Page 134
Operator methods......Page 136
4.3.2 Continuous spectrum......Page 139
Phase shifts......Page 141
Normalization factor......Page 145
4.4 Further exercises and problems......Page 148
5.1.1 Fredholm alternative......Page 156
5.2 Constructing Green functions......Page 157
5.2.1 Sturm–Liouville equation......Page 158
5.2.2 Initial value problems......Page 160
Physics application: Friction without friction – the Caldeira–Leggett model in real time......Page 162
5.2.3 Modified Green function......Page 165
5.3.1 Hermiticity of Green functions......Page 166
5.3.2 Inhomogeneous boundary conditions......Page 167
5.4 Eigenfunction expansions......Page 169
Modified Green function......Page 170
5.5.1 Causality implies analyticity......Page 171
Physics application: Caldeira–Leggett in frequency space......Page 172
5.5.2 Plemelj formulæ......Page 175
5.5.3 Resolvent operator......Page 177
5.6 Locality and the Gelfand–Dikii equation......Page 181
5.7 Further exercises and problems......Page 183
6.1 Classification of PDEs......Page 190
6.2 Cauchy data......Page 192
6.2.1 Characteristics and first-order equations......Page 194
6.3.1 d’Alembert’s solution......Page 197
6.3.2 Fourier’s solution......Page 201
6.3.3 Causal Green function......Page 202
6.3.4 Odd vs. even dimensions......Page 207
6.4.1 Heat kernel......Page 212
6.4.2 Causal Green function......Page 213
6.4.3 Duhamel’s principle......Page 215
6.5.1 Uniqueness and existence of solutions......Page 217
Cartesian coordinates......Page 221
Polar coordinates......Page 225
Pie-shaped regions......Page 227
6.5.3 Eigenfunction expansions......Page 229
6.5.4 Green functions......Page 231
6.5.5 Boundary value problems......Page 233
Method of images......Page 235
6.5.6 Kirchhoff vs. Huygens......Page 237
6.6 Further exercises and problems......Page 240
7.1.1 Ocean waves......Page 247
7.1.2 Group velocity......Page 250
7.1.3 Wakes......Page 253
7.1.4 Hamilton’s theory of rays......Page 255
7.2.1 Rayleigh’s equation......Page 258
7.3.1 Sound in air......Page 262
7.3.2 Shocks......Page 265
7.3.3 Weak solutions......Page 269
7.4 Solitons......Page 271
7.5 Further exercises and problems......Page 276
8.1 Curvilinear coordinates......Page 280
Spherical polar coordinates......Page 281
The gradient operator......Page 282
The divergence......Page 283
The curl......Page 284
8.2.1 Legendre polynomials......Page 286
8.2.2 Axisymmetric potential problems......Page 289
8.2.3 General spherical harmonics......Page 292
8.3 Bessel functions......Page 294
8.3.1 Cylindrical Bessel functions......Page 295
Generating function......Page 296
Bessel identities......Page 297
8.3.2 Orthogonality and completeness......Page 302
Hankel transforms......Page 304
8.3.3 Modified Bessel functions......Page 307
8.3.4 Spherical Bessel functions......Page 310
Factorization and recurrence......Page 313
8.4.1 Weyl’s theorem......Page 314
8.5 Further exercises and problems......Page 321
9.1 Illustrations......Page 327
9.2 Classification of integral equations......Page 328
9.3 Integral transforms......Page 329
9.3.1 Fourier methods......Page 330
9.3.2 Laplace transform methods......Page 331
Radon transforms......Page 334
9.4.1 Eigenvalue problem......Page 337
9.4.2 Inhomogeneous problem......Page 338
9.5 Singular integral equations......Page 339
9.5.1 Solution via Tchebychef polynomials......Page 340
Explanation of the principal-part identities......Page 342
9.6 Wiener–Hopf equations I......Page 343
9.7.1 Bounded and compact operators......Page 348
9.7.2 Closed operators......Page 351
9.8 Series solutions......Page 354
9.8.2 Fredholm series......Page 355
9.9 Further exercises and problems......Page 358
10.1 Covariant and contravariant vectors......Page 363
10.2.1 Transformation rules......Page 366
10.2.2 Tensor character of linear maps and quadratic forms......Page 368
10.2.3 Tensor product spaces......Page 370
Tensor products and quantum mechanics......Page 372
10.2.4 Symmetric and skew-symmetric tensors......Page 374
Bosons and fermions......Page 375
10.2.5 Kronecker and Levi-Civita tensors......Page 377
10.3.1 Isotropic tensors......Page 378
10.3.2 Stress and strain......Page 380
10.3.3 Maxwell stress tensor......Page 386
10.4 Further exercises and problems......Page 388
11.1 Vector and covector fields......Page 392
11.2.1 Lie bracket......Page 397
Frobenius’ theorem......Page 399
11.2.2 Lie derivative......Page 402
11.3.1 Differential forms......Page 405
11.3.2 The exterior derivative......Page 406
Cartan’s formulæ......Page 408
Lie derivative of forms......Page 409
11.4.1 Maxwell’s equations......Page 411
11.4.2 Hamilton’s equations......Page 415
The classical mechanics of spin......Page 418
11.5.1 Connections......Page 419
Parallel transport......Page 421
Curvature and torsion......Page 422
11.5.2 Cartan’s form viewpoint......Page 424
11.6 Further exercises and problems......Page 425
12.1.1 Line integrals......Page 430
12.1.2 Skew-symmetry and orientations......Page 431
Orientable and non-orientable manifolds......Page 432
12.2.1 Counting boxes......Page 433
12.2.2 Relation to conventional integrals......Page 435
The volume form......Page 437
12.3 Stokes' theorem......Page 438
12.4.1 Pull-backs and push-forwards......Page 440
12.4.2 Spin textures......Page 442
12.4.3 The Hopf map......Page 444
12.4.4 Homotopy and the Hopf map......Page 447
12.4.5 The Hopf index......Page 448
12.4.6 Twist and writhe......Page 452
12.5 Further exercises and problems......Page 456
13.1 Homeomorphism and diffeomorphism......Page 465
13.2.1 Retractable spaces: Converse of Poincaré’s lemma......Page 466
13.2.2 Obstructions to exactness......Page 469
13.2.3 De Rham cohomology......Page 470
Simplicial complexes......Page 471
p-chains......Page 473
The boundary operator......Page 474
Cycles, boundaries and homology......Page 475
The Euler character......Page 478
13.3.2 Relative homology......Page 481
Exact homology sequence of a pair......Page 482
Exact homotopy sequence of a pair......Page 484
13.4 De Rham's theorem......Page 485
13.5 Poincaré duality......Page 489
13.6 Characteristic classes......Page 493
13.6.1 Topological invariance......Page 494
13.6.2 Chern characters and Chern classes......Page 496
Pontryagin and Euler classes......Page 498
13.7.1 The Laplacian on p-forms......Page 499
13.7.2 Morse theory......Page 503
Supersymmetric quantum mechanics......Page 506
The Weitzenböck formula......Page 510
13.8 Further exercises and problems......Page 512
14.1.1 Group axioms......Page 514
Examples of groups......Page 515
14.1.2 Elementary properties......Page 516
14.1.3 Group actions on sets......Page 520
Real and pseudo-real representations......Page 521
Direct sum and direct product......Page 522
14.2.1 Reducibility and irreducibility......Page 523
Schur’s lemma......Page 524
Unitary representations of finite groups......Page 525
Orthogonality of the matrix elements......Page 526
Class functions and characters......Page 527
14.2.3 The group algebra......Page 529
Projection operators......Page 530
The algebra of classes......Page 532
14.3.1 Quantum mechanics......Page 533
14.3.2 Vibrational spectrum of H2O......Page 535
14.3.3 Crystal field splittings......Page 539
14.4 Further exercises and problems......Page 541
15.1 Matrix groups......Page 546
The orthogonal group......Page 547
15.1.2 Symplectic groups......Page 548
Unitary symplectic group......Page 549
15.2 Geometry of SU(2)......Page 551
15.2.1 Invariant vector fields......Page 552
The exponential map......Page 554
Right-invariant vector fields......Page 555
15.2.2 Maurer–Cartan forms......Page 556
15.2.3 Euler angles......Page 558
15.2.4 Volume and metric......Page 559
15.2.5 SO(3) … SU(2)/Z2......Page 561
Spinor representations of SO(N)......Page 565
The adjoint representation......Page 567
15.2.6 Peter–Weyl theorem......Page 568
15.2.7 Lie brackets vs. commutators......Page 569
Ideals and quotient algebras......Page 571
15.3.1 Adjoint representation......Page 572
15.3.2 The Killing form......Page 573
Semisimplicity......Page 574
Totally anti-symmetric structure constants......Page 575
The quadratic Casimir......Page 576
The Lie algebra of SU(2)......Page 577
Cartan algebras: Roots and co-roots......Page 581
15.3.4 Product representations......Page 585
15.3.5 Subalgebras and branching rules......Page 586
15.4 Further exercises and problems......Page 588
16.1.1 Definitions......Page 592
16.2 Physics examples......Page 593
16.2.1 Landau levels......Page 594
16.2.2 The Berry connection......Page 596
Monopole bundle......Page 597
Prequantization......Page 599
Quantizing spin......Page 601
16.3.1 Principal bundles and associated bundles......Page 607
16.3.2 Connections......Page 608
16.3.3 Monopole harmonics......Page 611
16.3.4 Bundle connection and curvature forms......Page 613
16.3.5 Characteristic classes as obstructions......Page 616
16.3.6 Stora–Zumino descent equations......Page 618
17.1 Cauchy–Riemann equations......Page 622
17.1.1 Conjugate pairs......Page 624
17.1.2 Conformal mapping......Page 627
The Riemann mapping theorem......Page 629
17.2.1 The complex integral......Page 632
17.2.2 Cauchy’s theorem......Page 634
17.2.3 The residue theorem......Page 636
17.3.1 Two-dimensional vector calculus......Page 640
17.3.2 Milne–Thomson circle theorem......Page 641
17.3.3 Blasius and Kutta–Joukowski theorems......Page 642
17.4.1 Cauchy’s integral formula......Page 646
Liouville’s theorem......Page 647
17.4.2 Taylor and Laurent series......Page 648
Taylor’s theorem for analytic functions......Page 651
Laurent series......Page 652
17.4.3 Zeros and singularities......Page 653
The distribution…......Page 655
Weierstrass–Casorati theorem......Page 659
17.5.1 Principle of the argument......Page 660
Local mapping theorem......Page 661
17.5.2 Rouché’s theorem......Page 662
17.6.1 The point at infinity......Page 663
17.6.2 Logarithms and branch cuts......Page 666
17.6.3 Topology of Riemann surfaces......Page 668
Isothermal coordinates and complex structure......Page 673
Riemann bilinear relations......Page 675
17.7 Further exercises and problems......Page 677
Rational trigonometric expressions......Page 682
Rational functions......Page 683
18.1.2 Branch-cut integrals......Page 684
18.1.3 Jordan’s lemma......Page 687
18.2 The Schwarz reflection principle......Page 692
18.2.1 Kramers–Kronig relations......Page 696
18.2.2 Hilbert transforms......Page 699
18.3.1 Mittag-Leffler partial-fraction expansion......Page 703
18.3.2 Infinite product expansions......Page 706
Convergence of infinite products......Page 707
18.4 Wiener–Hopf equations II......Page 708
18.4.2 Wiener–Hopf integral equations......Page 714
18.5 Further exercises and problems......Page 717
19.1 The Gamma function......Page 722
Infinite product for Gamma(z)......Page 726
19.2.1 Monodromy......Page 727
19.2.2 Hypergeometric functions......Page 728
19.3 Solving ODEs via contour integrals......Page 734
19.3.1 Bessel functions......Page 737
19.4 Asymptotic expansions......Page 741
19.4.1 Stirling’s approximation for n!......Page 743
19.4.2 Airy functions......Page 745
19.5 Elliptic functions......Page 751
19.6 Further exercises and problems......Page 757
A.1.1 Axioms......Page 760
A.2.1 Matrices......Page 762
A.2.2 Range–null-space theorem......Page 763
A.2.3 The dual space......Page 764
A.3.1 Inner products......Page 765
A.3.3 Bra and ket vectors......Page 767
A.3.4 Adjoint operator......Page 769
A.4.1 Direct sums......Page 770
A.4.2 Quotient spaces......Page 771
A.4.3 Projection-operator decompositions......Page 772
A.5.1 Rank and index......Page 773
A.6.1 Skew-symmetric n-linear forms......Page 775
A.6.2 The adjugate matrix......Page 779
Cayley’s theorem......Page 780
A.6.3 Differentiating determinants......Page 781
A.7.1 Diagonalizing linear maps......Page 782
Jordan decomposition......Page 786
A.7.2 Diagonalizing quadratic forms......Page 788
A.7.3 Block-diagonalizing symplectic forms......Page 790
B.1.1 Finite Fourier series......Page 795
B.1.2 Continuum limit......Page 796
B.2.1 Inversion formula......Page 799
B.2.2 The Riemann–Lebesgue lemma......Page 801
B.3.1 The convolution theorem......Page 802
B.3.2 Apodization and Gibbs’ phenomenon......Page 803
B.4 The Poisson summation formula......Page 808
References......Page 813
Index......Page 815