Mathematics for Computer Algebra

این کتاب مربوط به یک درس ریاضی است که در سال 1986/87 در دانشگاه لوئی پاستور، استراسبورگ ارائه شده است. این کار در درجه اول برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی در نظر گرفته شده است. پیش نیازهای زیر عبارتند از: چند تعریف استاندارد در نظریه مجموعه ها، تعریف اعداد صحیح گویا، برخی حقایق ابتدایی در ترکیب شناسی (شاید فقط فرمول دوجمله ای نیوتن)، برخی قضایای تحلیل در سطح دبیرستان و برخی جبر ابتدایی (پایه) نتایج در مورد گروه ها، حلقه ها، میدان ها و جبر خطی). جایگاه مهمی به تمرینات داده می شود. این تمرینات به ندرت کاربرد مستقیم دوره هستند. بیشتر اوقات، آنها مکمل متن هستند. بیشتر نکات یا ارجاعی داده می شود تا خواننده بتواند راه حلی بیابد. فصول یک و دو به نتایج ابتدایی نظریه اعداد می پردازد، به عنوان مثال: الگوریتم اقلیدسی، قضیه باقی مانده چینی و قضیه کوچک فرما. این نتایج به خودی خود مفید هستند، اما همچنین مقدمه ای مشخص برای برخی مفاهیم در جبر انتزاعی (به عنوان مثال، حلقه های اقلیدسی، حلقه های اصلی ...) هستند. الگوریتم هایی برای عملیات حسابی با اعداد صحیح بلند داده شده است. بقیه کتاب، فصل های 3 تا 7، به چند جمله ای ها می پردازد. ما نتایج کلی را در مورد چند جمله ای ها روی حلقه های دلخواه ارائه می دهیم. سپس چند جمله‌ای‌های با ضرایب مختلط در فصل 4 مورد مطالعه قرار می‌گیرند، که شامل تخمین‌های زیادی در مورد ریشه‌های مختلط چندجمله‌ای می‌شود. برخی از این تخمین ها در فصل های بعدی بسیار مفید هستند.

This book corresponds to a mathematical course given in 1986/87 at the University Louis Pasteur, Strasbourg. This work is primarily intended for graduate students. The following are necessary prerequisites : a few standard definitions in set theory, the definition of rational integers, some elementary facts in Combinatorics (maybe only Newton's binomial formula), some theorems of Analysis at the level of high schools, and some elementary Algebra (basic results about groups, rings, fields and linear algebra). An important place is given to exercises. These exercises are only rarely direct applications of the course. More often, they constitute complements to the text. Mostly, hints or references are given so that the reader should be able to find solutions. Chapters one and two deal with elementary results of Number Theory, for example : the euclidean algorithm, the Chinese remainder theorem and Fermat's little theorem. These results are useful by themselves, but they also constitute a concrete introduction to some notions in abstract algebra (for example, euclidean rings, principal rings ... ). Algorithms are given for arithmetical operations with long integers. The rest of the book, chapters 3 through 7, deals with polynomials. We give general results on polynomials over arbitrary rings. Then polynomials with complex coefficients are studied in chapter 4, including many estimates on the complex roots of polynomials. Some of these estimates are very useful in the subsequent chapters.