Mathematics for Chemistry & Physics

Cover......Page 1
S Title......Page 2
Title......Page 4
ISBN 0-12-705051-5......Page 5
Contents......Page 6
Preface......Page 14
1.1 INTRODUCTION......Page 16
1.2 FUNCTIONS......Page 17
1.3 CLASSIFICATION AND PROPERTIES OF FUNCTIONS......Page 21
1.4 EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS......Page 22
1.5 APPLICATIONS OF EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS......Page 25
1.6 COMPLEX NUMBERS......Page 27
1.7 CIRCULAR TRIGONOMETRIC FUNCTIONS......Page 29
1.8 HYPERBOLIC FUNCTIONS......Page 31
PROBLEMS......Page 32
2.1 DEFINITION OF A LIMIT......Page 34
2.2 CONTINUITY......Page 36
2.3 THE DERIVATIVE......Page 37
2.4 HIGHER DERIVATIVES......Page 39
2.5 IMPLICIT AND PARAMETRIC RELATIONS......Page 40
2.6 THE EXTREMA OF A FUNCTION AND ITS CRITICAL POINTS......Page 41
2.7 THE DIFFERENTIAL......Page 43
2.8 THE MEAN-VALUE THEOREM AND L’HOSPITAL’S RULE∗......Page 45
2.9 TAYLOR’S SERIES∗......Page 47
2.10 BINOMIAL EXPANSION......Page 49
2.11 TESTS OF SERIES CONVERGENCE......Page 50
2.12 FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES......Page 52
2.13 EXACT DIFFERENTIALS......Page 53
PROBLEMS......Page 54
3.1 THE INDEFINITE INTEGRAL......Page 58
3.2 INTEGRATION FORMULAS......Page 59
3.3.1 Integration by substitution......Page 60
3.3.2 Integration by parts......Page 61
3.3.3 Integration of partial fractions......Page 62
3.4.1 Definition......Page 64
3.4.2 Plane area......Page 65
3.4.3 Line integrals......Page 66
3.4.4 Fido and his master......Page 67
3.4.5 The Gaussian and its moments......Page 69
3.5 INTEGRATING FACTORS......Page 71
3.6 TABLES OF INTEGRALS......Page 74
PROBLEMS......Page 75
4.1 INTRODUCTION......Page 78
4.2 VECTOR ADDITION......Page 79
4.3 SCALAR PRODUCT......Page 81
4.4 VECTOR PRODUCT......Page 82
4.5 TRIPLE PRODUCTS......Page 84
4.6 RECIPROCAL BASES......Page 86
4.7 DIFFERENTIATION OF VECTORS......Page 87
4.8 SCALAR AND VECTOR FIELDS......Page 88
4.9 THE GRADIENT......Page 89
4.11 THE CURL OR ROTATION......Page 90
4.12 THE LAPLACIAN∗......Page 91
4.13 MAXWELL’S EQUATIONS......Page 92
4.14 LINE INTEGRALS......Page 95
4.15 CURVILINEAR COORDINATES......Page 96
PROBLEMS......Page 98
5.1 FIRST-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS......Page 100
5.2.1 Series solution......Page 102
5.2.2. The classical harmonic oscillator......Page 104
5.2.3 The damped oscillator......Page 106
5.3.1 Harmonic oscillator......Page 108
5.3.2 Inhomogeneous equations......Page 109
5.3.3 Forced vibrations......Page 110
5.4.1 The particle in a box......Page 111
5.4.2 Symmetric box......Page 114
5.4.3 Rectangular barrier: The tunnel effect......Page 115
5.4.4 The harmonic oscillator in quantum mechanics......Page 117
5.5.1 Hermite polynomials......Page 119
5.5.2 Associated Legendre∗ polynomials......Page 122
5.5.3 The associated Laguerre polynomials∗......Page 126
5.5.4 The gamma function......Page 127
5.5.6 Mathieu functions‡......Page 129
5.5.7 The hypergeometric functions......Page 130
PROBLEMS......Page 131
6.1.1 The wave equation......Page 134
6.1.2 Separation of variables......Page 135
6.1.3 Boundary conditions......Page 136
6.1.4 Initial conditions......Page 138
6.2.1 Quantum-mechanical applications......Page 140
6.2.2 Degeneracy......Page 142
6.3.1 Classical mechanics......Page 144
6.3.2 Quantum mechanics......Page 145
6.4.1 Spherical coordinates......Page 147
6.4.2 Spherical harmonics......Page 149
6.5 THE DIATOMIC MOLECULE......Page 150
6.5.2 The vibrating rotator......Page 151
6.5.3 Centrifugal forces......Page 152
6.6 THE HYDROGEN ATOM......Page 153
6.6.1 Energy......Page 154
6.6.2 Wavefunctions and the probability density......Page 155
6.7.1 Conservation of angular momentum......Page 157
6.7.3 Interaction potential: LJ (6-12)......Page 158
6.7.4 Angle of deflection......Page 160
6.7.5 Quantum mechanical description: The phase shift......Page 161
PROBLEMS......Page 162
7.1 THE ALGEBRA OF OPERATORS......Page 164
7.2 HERMITIAN OPERATORS AND THEIR EIGENVALUES......Page 166
7.3 MATRICES......Page 168
7.4 THE DETERMINANT......Page 172
7.5 PROPERTIES OF DETERMINANTS......Page 173
7.6 JACOBIANS......Page 174
7.7 VECTORS AND MATRICES......Page 176
7.9 PARTITIONING OF MATRICES......Page 178
7.10 MATRIX FORMULATION OF THE EIGENVALUE PROBLEM......Page 179
7.11 COUPLED OSCILLATORS......Page 181
7.12 GEOMETRIC OPERATIONS......Page 185
7.13 THE MATRIX METHOD IN QUANTUM MECHANICS......Page 187
7.14 THE HARMONIC OSCILLATOR......Page 190
PROBLEMS......Page 192
8.1 DEFINITION OF A GROUP......Page 196
8.2 EXAMPLES......Page 197
8.3 PERMUTATIONS......Page 199
8.4 CONJUGATE ELEMENTS AND CLASSES......Page 200
8.5 MOLECULAR SYMMETRY......Page 202
8.6 THE CHARACTER......Page 210
8.7 IRREDUCIBLE REPRESENTATIONS......Page 211
8.8 CHARACTER TABLES......Page 213
8.9 REDUCTION OF A REPRESENTATION: THE ‘‘MAGIC FORMULA’’......Page 215
8.10 THE DIRECT PRODUCT REPRESENTATION......Page 217
8.11 SYMMETRY-ADAPTED FUNCTIONS: PROJECTION OPERATORS......Page 219
8.12 HYBRIDIZATION OF ATOMIC ORBITALS......Page 222
8.13 CRYSTAL SYMMETRY......Page 224
PROBLEMS......Page 227
9.1 KINETIC ENERGY......Page 230
9.2 MOLECULAR ROTATION......Page 232
9.2.1 Euler’s angles......Page 233
9.2.2 Classification of rotators......Page 235
9.2.3 Angular momenta......Page 236
9.2.4 The symmetric top in quantum mechanics......Page 237
9.3 VIBRATIONAL ENERGY∗......Page 239
9.3.1 Kinetic energy......Page 240
9.3.2 Internal coordinates: The G matrix......Page 241
9.3.4 Normal coordinates......Page 242
9.3.5 Secular determinant......Page 243
9.3.6 An example: The water molecule......Page 244
9.3.7 Symmetry coordinates......Page 246
9.3.8 Application to molecular vibrations......Page 248
9.3.9 Form of normal modes......Page 249
9.4.1 Molecular inversion∗......Page 251
9.4.2 Internal rotation......Page 253
9.4.3 Molecular conformation: The molecular mechanics method......Page 255
PROBLEMS......Page 257
10.1 PERMUTATIONS......Page 260
10.2 COMBINATIONS......Page 262
10.3 PROBABILITY......Page 264
10.4 STIRLING’S APPROXIMATION......Page 266
10.5 STATISTICAL MECHANICS......Page 268
10.6 THE LAGRANGE MULTIPLIERS......Page 270
10.7 THE PARTITION FUNCTION......Page 271
10.8 MOLECULAR ENERGIES......Page 272
10.8.1 Translation......Page 273
10.8.2 Rotation......Page 274
10.8.3 Vibration......Page 276
10.9.1 The indistinguishability of identical particles......Page 277
10.9.2 The exclusion principle......Page 278
10.9.3 Fermi–Dirac‡ statistics......Page 279
10.9.4 Bose∗ –Einstein statistics......Page 281
10.10 ORTHO- ANDPARA-HYDROGEN......Page 282
PROBLEMS......Page 285
11.1 THE FOURIER TRANSFORM......Page 286
11.1.1 Convolution......Page 287
11.1.2 Fourier transform pairs......Page 288
The function ‘‘boxcar’’......Page 289
Gauss’s function......Page 290
Exponential decay: The Lorentz profile......Page 291
The delta function of Dirac and the ‘‘Shah’’......Page 292
11.2.1 Examples of simple Laplace transforms......Page 294
11.2.2 The transform of derivatives......Page 296
11.2.3 Solution of differential equations......Page 297
11.2.4 Laplace transforms: Convolution and inversion......Page 298
11.2.5 Green’s functions∗......Page 299
PROBLEMS......Page 301
12.1 THE BORN–OPPENHEIMER APPROXIMATION......Page 302
12.2.1 Nondegenerate systems......Page 305
12.2.2 First-order approximation......Page 306
12.2.4 The anharmonic oscillator......Page 308
12.2.5 Degenerate systems......Page 311
12.2.6 The Stark effect of the hydrogen atom......Page 313
12.3.1 The Schro¨ dinger equation......Page 315
12.3.2 Interaction of light and matter......Page 316
12.3.3 Spectroscopic selection rules......Page 320
12.4.1 The variation theorem......Page 323
12.4.2 An example: The particle in a box......Page 324
12.4.3 Linear variation functions......Page 326
12.4.4 Linear combinations of atomic orbitals (LCAO......Page 327
12.4.5 The Hu¨ ckel approximation∗......Page 331
PROBLEMS......Page 337
13.1 ERRORS......Page 340
13.1.1 The Gaussian distribution......Page 341
13.1.2 The Poisson distribution∗......Page 342
13.2 THE METHOD OF LEAST SQUARES......Page 343
13.3 POLYNOMIAL INTERPOLATION AND SMOOTHING......Page 345
13.4.1 The discrete Fourier transform (DFT)......Page 349
13.4.2 The fast Fourier transform (FFT)......Page 351
13.4.3 An application: interpolation and smoothing......Page 354
13.5 NUMERICAL INTEGRATION......Page 356
13.5.1 The trapezoid rule......Page 357
13.5.3 The method of Romberg†......Page 358
13.6.1 Newton’s method......Page 360
13.6.3 The roots: an example......Page 361
PROBLEMS......Page 362
Appendix I: The Greek Alphabet......Page 364
Appendix II: Dimensions and Units......Page 366
Appendix III: Atomic orbitals......Page 370
Appendix IV: Radial Wave functions for Hydrogenlike Species......Page 376
Appendix V: The Laplacian Operator in Spherical Coordinates......Page 378
Appendix VI: The Divergence Theorem......Page 382
Appendix VII: Determination of the Molecular Symmetry Group......Page 384
Appendix VIII: Character Tables for Some of the More Common Point Groups......Page 388
Appendix IX: Matrix Elements for the Harmonic Oscillator......Page 400
Applied mathematics......Page 402
Chemical physics......Page 405
Author Index......Page 408
Subject Index......Page 410