Mathematics as an Educational Task

مثل پیش درآمدها، مقدمه ها معمولاً در آخر ساخته می شوند. قرار دادن آنها در جلوی کتاب بازتاب ضعیفی از چیزی است که به سبک رساله ها و کتاب های درسی ریاضیات، من معمولاً آن را وارونگی آموزشی می نامم: برای اینکه مناسب چاپ باشیم، راه رسیدن به نتیجه باید معکوس ترتیب باشد. که در آن یافت شد؛ به ویژه تعاریف کلیدی، که لمس نهایی سازه بود، در جلو قرار داده شده است. سال‌هاست که من وارونگی تعلیمی را با آزمایش فکری مقایسه کرده‌ام. درست است که شما نباید ریاضیات خود را آنطور که به ذهنتان رسیده است به دیگران منتقل کنید، بلکه همانطور که اگر آن زمان می دانستید آنچه را که اکنون می دانید، می توانستید به ذهنتان خطور کند، و همانطور که به ذهن دانش آموز می رسید اگر فرآیند یادگیری هدایت می شود. این در واقع اصل درسی است که سقراط به برده منو آموخت. آزمایش فکری تلاش می‌کند تا دریابد که چگونه یک دانش‌آموز می‌تواند چیزی را که از او انتظار می‌رود دوباره ابداع کند. در مورد مقدمه گفتم که بازتاب ضعیفی از وارونگی تعلیمی است. در واقع، این جزء تشکیل دهنده کتاب نیست. حتی می توان آن را پاره کرد. با این حال مفید است. اولاً به منتقدی که پس از آن نیازی به خواندن کل اثر ندارد، و دوم به خود نویسنده که مانند آهنگساز فرصتی برای مرور لیتموتیوهای کتاب پیدا می کند.

Like preludes, prefaces are usually composed last. Putting them in the front of the book is a feeble reflection of what, in the style of mathe­ matics treatises and textbooks, I usually call thf didactical inversion: to be fit to print, the way to the result should be the inverse of the order in which it was found; in particular the key definitions, which were the finishing touch to the structure, are put at the front. For many years I have contrasted the didactical inversion with the thought-experiment. It is true that you should not communicate your mathematics to other people in the way it occurred to you, but rather as it could have occurred to you if you had known then what you know now, and as it would occur to the student if his learning process is being guided. This in fact is the gist of the lesson Socrates taught Meno's slave. The thought-experi­ ment tries to find out how a student could re-invent what he is expected to learn. I said about the preface that it is a feeble reflection of the didactical inversion. Indeed, it is not a constituent part of the book. It can even be torn out. Yet it is useful. Firstly, to the reviewer who then need not read the whole work, and secondly to the author himself, who like the composer gets an opportunity to review the Leitmotivs of the book.