Mathematical Tools for Physics R20070328A

   CONTENTS......Page 2
   INTRODUCTION......Page 4
   BIBLIOGRAPHY......Page 6
Radians......Page 8
Hyperbolic Functions......Page 9
2.Parametric Differentiation......Page 11
3.Gaussian Integrals......Page 12
4.erf and Gamma......Page 13
Why erf?......Page 14
6.Integrals......Page 16
Fundamental Thm. of Calculus......Page 18
Yes......Page 19
7.Polar Coordinates......Page 22
8.Sketching Graphs......Page 23
Problems......Page 25
1.The Basics......Page 30
2.Deriving Taylor Series......Page 31
Integral Test......Page 33
Absolute Convergence......Page 35
5.Power series, two variables......Page 36
6.Stirling's Approximation......Page 38
Probability Distribution......Page 39
7.Useful Tricks......Page 41
8.Diffraction......Page 42
9.Checking Results......Page 45
Electrostatics Example......Page 47
Estimating a tough integral......Page 48
Problems......Page 50
1.Complex Numbers......Page 57
2.Some Functions......Page 58
Complex Exponentials......Page 59
3.Applications of Euler's Formula......Page 60
Complex Conjugate......Page 61
Roots of Unity......Page 62
5.Logarithms......Page 63
6.Mapping......Page 64
Problems......Page 66
1.Linear Constant-Coefficient......Page 72
Damped Oscillator......Page 74
2.Forced Oscillations......Page 75
Regular Singular Points......Page 78
4.Some General Methods......Page 81
5.Trigonometry via ODE's......Page 82
6.Green's Functions......Page 83
7.Separation of Variables......Page 85
8.Circuits......Page 86
9.Simultaneous Equations......Page 88
10.Simultaneous ODE's......Page 90
11.Legendre's Equation......Page 93
Problems......Page 96
1.Examples......Page 103
2.Computing Fourier Series......Page 104
Computing an Example......Page 105
Some Examples......Page 107
Fundamental Theorem......Page 108
Apply the Theorem......Page 110
4.Musical Notes......Page 112
Parseval's Identity......Page 114
Pure Frequency Forcing......Page 115
General Periodic Force......Page 116
6.Return to Parseval......Page 118
7.Gibbs Phenomenon......Page 119
Problems......Page 121
1.The Underlying Idea......Page 127
3.Examples of Vector Spaces......Page 128
Function Spaces......Page 130
Bases, Dimension, Components......Page 131
Differential Equations......Page 133
6.Scalar Product......Page 134
Examples......Page 135
7.Bases and Scalar Products......Page 136
8.Gram-Schmidt Orthogonalization......Page 137
Norm from a Scalar Product......Page 138
10.Infinite Dimensions......Page 139
Problems......Page 141
1.The Idea of an Operator......Page 148
3.Examples of Operators......Page 151
Components of Rotations......Page 153
Components of Inertia......Page 154
Components of Dumbbell......Page 155
Parallel Axis Theorem......Page 156
4.Matrix Multiplication......Page 158
Composition of Rotations......Page 159
5.Inverses......Page 160
6.Areas, Volumes, Determinants......Page 161
Trace......Page 165
Determinant of Composition......Page 166
8.Eigenvalues and Eigenvectors......Page 167
Example of Eigenvectors......Page 169
Example: Coupled Oscillators......Page 170
Similarity Transformations......Page 171
Eigenvectors......Page 172
11.Can you Diagonalize a Matrix?......Page 173
Differential Equations at Critical......Page 174
12.Eigenvalues and Google......Page 175
13.Special Operators......Page 176
Problems......Page 178
1.Partial Derivatives......Page 185
2.Differentials......Page 186
Differentials in Several Variables......Page 187
3.Chain Rule......Page 188
4.Geometric Interpretation......Page 190
5.Gradient......Page 191
6.Electrostatics......Page 193
Vibrating Drumhead......Page 194
Examples of Multiple Integrals......Page 195
A Moment of Inertia......Page 196
Limits of Integration......Page 197
Solenoid......Page 198
10.Gradient in other Coordinates......Page 199
11.Maxima, Minima, Saddles......Page 200
Hessian......Page 201
12.Lagrange Multipliers......Page 203
Examples of Lagrange Multipliers......Page 204
13.Solid Angle......Page 206
Cross Section, Absorption......Page 207
Cross Section, Scattering......Page 208
14.Rainbow......Page 209
15.3D Visualization......Page 211
Problems......Page 212
1.Fluid Flow......Page 219
Example of Flow Calculation......Page 220
Another Flow Calculation......Page 221
2.Vector Derivatives......Page 222
Div, Curl, Strain......Page 223
3.Computing the divergence......Page 224
The Divergence as Derivatives......Page 225
Simplifying the derivation......Page 227
4.Integral Representation of Curl......Page 229
The Curl in Components......Page 230
6.Shorter Cut for div and curl......Page 231
7.Identities for Vector Operators......Page 232
8.Applications to Gravity......Page 233
Non-uniform density......Page 234
9.Gravitational Potential......Page 235
Back to the Problem......Page 236
Magnetic Boundary Conditions......Page 237
10.Index Notation......Page 238
11.More Complicated Potentials......Page 240
Problems......Page 242
1.The Heat Equation......Page 250
In Three Dimensions......Page 251
2.Separation of Variables......Page 252
Example......Page 253
3.Oscillating Temperatures......Page 254
4.Spatial Temperature Distributions......Page 255
The Heat Flow into the Box......Page 259
5.Specified Heat Flow......Page 261
6.Electrostatics......Page 263
More Electrostatic Examples......Page 267
7.Cylindrical Coordinates......Page 268
Example......Page 269
Problems......Page 271
1.Interpolation......Page 276
2.Solving equations......Page 278
3.Differentiation......Page 280
4.Integration......Page 282
Simpson's Rule......Page 284
Gaussian Integration......Page 285
Runge-Kutta......Page 287
Adams Methods......Page 289
Instability......Page 290
Backwards Iteration......Page 291
6.Fitting of Data......Page 292
7.Euclidean Fit......Page 294
Correlation, Principal Components......Page 295
8.Differentiating noisy data......Page 297
9.Partial Differential Equations......Page 298
Problems......Page 301
1.Examples......Page 306
Definition of ``Function''......Page 307
Functional......Page 308
Multilinear Functionals......Page 309
2.Components......Page 311
3.Relations between Tensors......Page 313
Symmetries......Page 314
Alternating Tensor......Page 315
4.Birefringence......Page 316
Reciprocal Basis......Page 320
Summation Convention......Page 321
Metric Tensor......Page 323
6.Manifolds and Fields......Page 324
7.Coordinate Bases......Page 326
Reciprocal Coordinate Basis......Page 328
Metric Tensor......Page 330
8.Basis Change......Page 331
Problems......Page 335
1.Integrals......Page 338
Weighted Integrals......Page 339
2.Line Integrals......Page 340
3.Gauss's Theorem......Page 342
4.Stokes' Theorem......Page 343
Example......Page 345
Conservative Fields......Page 346
Vector Potentials......Page 347
5.Reynolds' Transport Theorem......Page 348
6.Fields as Vector Spaces......Page 350
hbox to 0pt{vbox to 0pt{vss hbox {pdfdest num marknumber xyz}vskip 0.15in}}immediate write indexWrite {Helmholtz Decomposition  indexgotolink {1666}{344}}{def !{ }Helmholtz Decomposition}global advance marknumber by 1
elax......Page 351
Generalization......Page 353
Problems......Page 354
1.Differentiation......Page 360
2.Integration......Page 362
3.Power (Laurent) Series......Page 363
6.Cauchy's Residue Theorem......Page 366
Example 2......Page 367
Example 3......Page 368
Example 4......Page 369
Example 5......Page 370
Example 6......Page 371
Example 7......Page 372
7.Branch Points......Page 373
Geometry of Branch Points......Page 374
Other Functions......Page 376
Example 8......Page 377
9.Other Results......Page 378
Problems......Page 381
1.Fourier Transform......Page 386
Examples......Page 387
2.Convolution Theorem......Page 389
Example......Page 390
Example......Page 391
5.Green's Functions......Page 392
6.Sine and Cosine Transforms......Page 394
7.Wiener-Khinchine Theorem......Page 396
Problems......Page 397
1.Examples......Page 400
2.Functional Derivatives......Page 401
3.Brachistochrone......Page 405
x-independent......Page 406
4.Fermat's Principle......Page 407
5.Electric Fields......Page 409
6.Discrete Version......Page 411
7.Classical Mechanics......Page 414
8.Endpoint Variation......Page 415
9.Kinks......Page 417
Example......Page 418
10.Second Order......Page 420
Thin Lens......Page 422
Problems......Page 424
1.Density......Page 427
2.Functionals......Page 429
3.Generalization......Page 430
Green's functions......Page 432
4.Delta-function Notation......Page 433
5.Alternate Approach......Page 435
6.Differential Equations......Page 437
7.Using Fourier Transforms......Page 439
8.More Dimensions......Page 440
Applications to Potentials......Page 442
Problems......Page 445
   INDEX......Page 448