Mathematical Tools for Physics

CONTENTS......Page 3
   INTRODUCTION......Page 6
   BIBLIOGRAPHY......Page 8
Radians......Page 10
Hyperbolic Functions......Page 11
2.Parametric Differentiation......Page 14
3.Gaussian Integrals......Page 15
4.erf and Gamma......Page 17
Why erf?......Page 19
5.Differentiating......Page 20
6.Integrals......Page 21
Fundamental Thm. of Calculus......Page 23
Riemann-Stieljes Integrals......Page 24
Yes......Page 25
Partial Integration......Page 28
7.Polar Coordinates......Page 29
8.Sketching Graphs......Page 30
Problems......Page 33
1.The Basics......Page 39
2.Deriving Taylor Series......Page 41
Ratio Test......Page 43
Integral Test......Page 44
Quicker Comparison Test......Page 45
Absolute Convergence......Page 46
4.Series of Series......Page 47
5.Power series, two variables......Page 48
6.Stirling's Approximation......Page 50
Probability Distribution......Page 51
7.Useful Tricks......Page 54
8.Diffraction......Page 55
9.Checking Results......Page 59
Electrostatics Example......Page 61
Estimating a tough integral......Page 63
Problems......Page 65
1.Complex Numbers......Page 74
2.Some Functions......Page 75
Complex Exponentials......Page 77
3.Applications of Euler's Formula......Page 78
Complex Conjugate......Page 80
Roots of Unity......Page 81
4.Logarithms......Page 82
5.Mapping......Page 83
Problems......Page 85
1.Linear Constant-Coefficient......Page 92
Damped Oscillator......Page 95
2.Forced Oscillations......Page 96
Regular Singular Points......Page 100
4.Trigonometry via ODE's......Page 104
5.Green's Functions......Page 105
6.Separation of Variables......Page 108
7.Simultaneous Equations......Page 110
8.Simultaneous ODE's......Page 112
9.Legendre's Equation......Page 116
Problems......Page 119
1.Examples......Page 127
2.Computing Fourier Series......Page 128
More Examples......Page 129
3.Choice of Basis......Page 131
Fundamental Theorem......Page 132
Parseval's Identity......Page 136
4.Periodically Forced ODE's......Page 137
Pure Frequency Forcing......Page 138
General Periodic Force......Page 139
5.Return to Parseval......Page 141
Other Applications......Page 142
6.Gibbs Phenomenon......Page 143
Problems......Page 145
1.The Underlying Idea......Page 151
2.Axioms......Page 152
3.Examples of Vector Spaces......Page 153
Special Function Space......Page 156
Bases, Dimension, Components......Page 157
Differential Equations......Page 159
Examples......Page 161
7.Bases and Scalar Products......Page 164
9.Cauchy-Schwartz inequality......Page 165
Norm from a Scalar Product......Page 166
10.Infinite Dimensions......Page 167
Problems......Page 169
1.The Idea of an Operator......Page 177
2.Definition of an Operator......Page 181
3.Examples of Operators......Page 182
Components of Rotations......Page 184
Components of Inertia......Page 185
Components of Dumbbell......Page 186
Parallel Axis Theorem......Page 188
Components of the Derivative......Page 190
4.Matrix Multiplication......Page 191
5.Inverses......Page 192
6.Areas, Volumes, Determinants......Page 194
7.Matrices as Operators......Page 195
Determinant of Composition......Page 196
8.Eigenvalues and Eigenvectors......Page 197
Example of Eigenvectors......Page 199
Example: Coupled Oscillators......Page 200
9.Change of Basis......Page 201
Similarity Transformations......Page 203
Eigenvectors......Page 204
11.Can you Diagonalize a Matrix?......Page 205
Differential Equations at Critical......Page 206
12.Eigenvalues and Google......Page 208
Problems......Page 210
1.Partial Derivatives......Page 217
2.Differentials......Page 218
Differentials in Several Variables......Page 219
3.Chain Rule......Page 220
4.Geometric Interpretation......Page 223
Examples......Page 224
5.Gradient......Page 225
6.Electrostatics......Page 226
Vibrating Drumhead......Page 228
8.Cylindrical, Spherical Coordinates......Page 229
Examples of Multiple Integrals......Page 230
An Area......Page 231
A Surface Charge Density......Page 232
9.Vectors: Cylindrical, Spherical Bases......Page 233
Nuclear Magnetic Field......Page 234
10.Gradient in other Coordinates......Page 235
11.Maxima, Minima, Saddles......Page 236
12.Lagrange Multipliers......Page 238
Examples of Lagrange Multipliers......Page 239
13.Solid Angle......Page 242
Cross Section, Absorption......Page 243
Cross Section, Scattering......Page 244
14.Rainbow......Page 245
15.3D Visualization......Page 249
Problems......Page 250
1.Fluid Flow......Page 257
General Flow, Curved Surfaces......Page 258
Example of Flow Calculation......Page 259
Another Flow Calculation......Page 260
2.Vector Derivatives......Page 262
Div, Curl, Strain......Page 263
3.Computing the divergence......Page 264
The Divergence as Derivatives......Page 266
Simplifying the derivation......Page 268
4.Integral Representation of Curl......Page 270
The Curl in Components......Page 271
5.The Gradient......Page 272
6.Shorter Cut for div and curl......Page 273
7.Identities for Vector Operators......Page 274
8.Applications to Gravity......Page 275
9.Gravitational Potential......Page 277
Boundary Conditions......Page 278
Back to the Problem......Page 279
10.Summation Convention......Page 280
11.More Complicated Potentials......Page 281
Problems......Page 283
1.The Heat Equation......Page 292
In Three Dimensions......Page 293
2.Separation of Variables......Page 294
Example......Page 296
3.Oscillating Temperatures......Page 297
4.Spatial Temperature Distributions......Page 299
The Heat Flow into the Box......Page 304
5.Specified Heat Flow......Page 306
6.Electrostatics......Page 309
More Electrostatic Examples......Page 314
Problems......Page 317
1.Interpolation......Page 324
2.Solving equations......Page 327
3.Differentiation......Page 329
4.Integration......Page 333
Simpson's Rule......Page 335
Gaussian Integration......Page 337
5.Differential Equations......Page 338
Runge-Kutta......Page 339
Adams Methods......Page 341
Instability......Page 343
6.Fitting of Data......Page 345
7.Euclidean Fit......Page 347
Correlation, Principal Components......Page 350
8.Differentiating noisy data......Page 351
9.Partial Differential Equations......Page 353
Problems......Page 357
1.Examples......Page 363
Definition of ``Function''......Page 364
Functional......Page 365
Multilinear Functionals......Page 367
2.Components......Page 369
Change of Basis......Page 372
Change of Basis (more efficient)......Page 375
3.Relations between Tensors......Page 377
Symmetries......Page 379
Alternating Tensor......Page 380
4.Non-Orthogonal Bases......Page 381
Reciprocal Basis......Page 382
Summation Convention......Page 383
Metric Tensor......Page 385
Raising and Lowering......Page 387
5.Manifolds and Fields......Page 388
6.Coordinate Systems......Page 390
Coordinate Basis......Page 391
Reciprocal Coordinate Basis......Page 392
Example......Page 394
7.Basis Change......Page 395
Problems......Page 401
1.Integrals......Page 405
Weighted Integrals......Page 407
2.Line Integrals......Page 408
3.Gauss's Theorem......Page 410
4.Stokes' Theorem......Page 411
Example......Page 414
Conservative Fields......Page 415
Potentials......Page 416
Vector Potentials......Page 417
5.Reynolds' Transport Theorem......Page 418
Faraday's Law......Page 420
Problems......Page 421
1.Differentiation......Page 427
2.Integration......Page 430
3.Power (Laurent) Series......Page 432
5.Branch Points......Page 435
Example 2......Page 436
Example 3......Page 437
Example 4......Page 438
Example 5......Page 440
Example 6......Page 441
Example 7......Page 442
7.Branch Points......Page 444
Geometry of Branch Points......Page 445
Other Functions......Page 447
Example 8......Page 449
9.Other Results......Page 451
Problems......Page 454
1.Fourier Transform......Page 460
Examples......Page 462
2.Convolution Theorem......Page 464
Example......Page 465
Example......Page 466
4.Derivatives......Page 467
5.Green's Functions......Page 468
6.Sine and Cosine Transforms......Page 471
7.Weiner-Khinchine Theorem......Page 473
Problems......Page 474
   INDEX......Page 478