Mathematical Theory of Incompressible Nonviscous Fluids

دینامیک سیالات یک علم باستانی است که امروزه بسیار زنده است. فناوری مدرن و نیازهای جدید نیاز به دانش عمیق‌تری از رفتار سیالات واقعی دارد و اکتشافات جدید یا گام‌های رو به جلو، اغلب مشکلات ریاضی جدیدی را چالش‌برانگیز و دشوار می‌سازند. در این چارچوب، نقش ویژه ای توسط جریان های غیر چسبناک تراکم ناپذیر (که گاهی اوقات کامل نامیده می شود) بازی می کند. این یک مدل ریاضی است که اساساً از یک معادله تکامل (معادله اویلر) برای میدان سرعت سیالات تشکیل شده است. چنین معادله ای که چیزی جز قوانین نیوتن به اضافه برخی فرضیه های ساختاری اضافی نیست، توسط اویلر در سال 1755 کشف شد و اگرچه بیش از دو قرن قدمت دارد، بسیاری از سؤالات اساسی در مورد راه حل های آن هنوز باز هستند. به طور خاص، مشخص نیست که آیا راه‌حل‌ها، برای شرایط اولیه نسبتاً کلی، تکینگی‌ها را در یک زمان محدود ایجاد می‌کنند یا خیر، و اطلاعات کمی در مورد رفتار طولانی‌مدت راه‌حل‌های صاف وجود دارد. این و دیگر مسائل اساسی هنوز باز هستند و این یکی از دلایلی است که نظریه ریاضی جریان های کامل تا تکمیل شدن فاصله دارد. جریان‌های تراکم‌ناپذیر توسط بسیاری از ریاضیدانان برجسته، با انواع زیادی از تکنیک‌های ریاضی متصل شده‌اند، به طوری که امروزه، این رشته بخش بسیار غنی و محرک ریاضیات کاربردی را تشکیل می‌دهد.

Fluid dynamics is an ancient science incredibly alive today. Modern technol­ ogy and new needs require a deeper knowledge of the behavior of real fluids, and new discoveries or steps forward pose, quite often, challenging and diffi­ cult new mathematical {::oblems. In this framework, a special role is played by incompressible nonviscous (sometimes called perfect) flows. This is a mathematical model consisting essentially of an evolution equation (the Euler equation) for the velocity field of fluids. Such an equation, which is nothing other than the Newton laws plus some additional structural hypo­ theses, was discovered by Euler in 1755, and although it is more than two centuries old, many fundamental questions concerning its solutions are still open. In particular, it is not known whether the solutions, for reasonably general initial conditions, develop singularities in a finite time, and very little is known about the long-term behavior of smooth solutions. These and other basic problems are still open, and this is one of the reasons why the mathe­ matical theory of perfect flows is far from being completed. Incompressible flows have been attached, by many distinguished mathe­ maticians, with a large variety of mathematical techniques so that, today, this field constitutes a very rich and stimulating part of applied mathematics.