Mathematical Programming and Control Theory

در یک مسئله برنامه نویسی ریاضی، بهینه (حداکثر یا حداقل) یک تابع، مشروط به محدودیت در مقادیر متغیرها، جستجو می شود. در ربع قرن از زمانی که G. B. Dantzig روش سیمپلکس را برای برنامه ریزی خطی معرفی کرد، بسیاری از مسائل دنیای واقعی در قالب برنامه ریزی ریاضی مدل شده اند. چنین مشکلاتی اغلب در برنامه‌ریزی اقتصادی - مانند برنامه‌ریزی تولید صنعتی یا حمل‌ونقل - به وجود می‌آیند، اما مشکلات مختلف دیگر مانند کنترل بهینه یک موشک بین سیاره‌ای نیز از نوع مشابهی هستند. اغلب مشکلات شامل توابع غیرخطی هستند و بنابراین به روش هایی کلی تر از برنامه نویسی خطی نیاز دارند. این کتاب یک نظریه یکپارچه از برنامه ریزی ریاضی غیرخطی را ارائه می دهد. روش ها و مفاهیم یکسانی برای مسائل «برنامه نویسی غیرخطی» با تعداد محدودی از متغیرها و برای مسائل «کنترل بهینه» با e. g. یک منحنی پیوسته (یعنی بی نهایت متغیر). ایده های زیربنایی فضای برداری، مخروط محدب، و ابرصفحه جداکننده یکسان هستند، خواه بعد محدود باشد یا نامتناهی. و بعد نامتناهی تفاوت بسیار کمی با براهین ایجاد می کند. تئوری دوگانگی - تعمیم‌های غیرخطی مختلف قضیه دوگانگی معروف برنامه خطی مینگ - به کنترل بهینه نیز مربوط می‌شود، و مقدمه نظریه Pontryagin برای کنترل بهینه نیز مسائل ابعاد محدود را روشن می‌کند. این نظریه با استفاده از مفهوم هندسی مخروط های محدب، به جای نابرابری های مختصات، ساده شده و کاربرد آن گسترش می یابد.

In a mathematical programming problem, an optimum (maxi­ mum or minimum) of a function is sought, subject to con­ straints on the values of the variables. In the quarter century since G. B. Dantzig introduced the simplex method for linear programming, many real-world problems have been modelled in mathematical programming terms. Such problems often arise in economic planning - such as scheduling industrial production or transportation - but various other problems, such as the optimal control of an interplanetary rocket, are of similar kind. Often the problems involve nonlinear func­ tions, and so need methods more general than linear pro­ gramming. This book presents a unified theory of nonlinear mathe­ matical programming. The same methods and concepts apply equally to 'nonlinear programming' problems with a finite number of variables, and to 'optimal control' problems with e. g. a continuous curve (i. e. infinitely many variables). The underlying ideas of vector space, convex cone, and separating hyperplane are the same, whether the dimension is finite or infinite; and infinite dimension makes very little difference to the proofs. Duality theory - the various nonlinear generaliz­ ations of the well-known duality theorem of linear program­ ming - is found relevant also to optimal control, and the , PREFACE Pontryagin theory for optimal control also illuminates finite dimensional problems. The theory is simplified, and its applicability extended, by using the geometric concept of convex cones, in place of coordinate inequalities.