Mathematical Methods in Physics: Distributions, Hilbert Space Operators, Variational Methods, and Applications in Quantum Physics

ویرایش دوم این کتاب درسی دانش و مهارت‌های ریاضی پایه‌ای را که برای دوره‌های فیزیک نظری مدرن، مانند مکانیک کوانتومی، نظریه میدان کلاسیک و کوانتومی، و حوزه‌های مرتبط مورد نیاز است، ارائه می‌کند. نویسندگان تأکید می‌کنند که یادگیری فیزیک ریاضی یک فرآیند غیرفعال نیست و شامل اثبات‌های مفصل متعدد، مثال‌ها و بیش از 200 تمرین، و همچنین نکاتی است که مفاهیم و نتایج ریاضی را به مفاهیم و نظریه‌های فیزیکی مرتبط مرتبط می‌کند. تمام مطالب نسخه اول به روز شده است و پنج فصل جدید در مورد موضوعاتی مانند توزیع ها، عملگرهای فضای هیلبرت و روش های تغییر اضافه شده است.

متن به سه بخش تقسیم می شود:

p>

- قسمت اول: مقدمه ای کوتاه بر نظریه توزیع (شوارتز). عناصری از تئوری‌های توزیع‌های فوق‌العاده و توابع (فوریه) علاوه بر برخی نتایج عمیق‌تر برای توزیع‌های شوارتز ارائه شده‌اند، بنابراین مقدمه‌ای نسبتاً جامع برای تئوری توابع تعمیم‌یافته ارائه می‌دهند. خواص و روش‌های اساسی برای توزیع‌ها با کاربردهای ODE و PDE با ضریب ثابت توسعه می‌یابند. رابطه بین توزیع ها و توابع هولومورفیک و همچنین ویژگی های اساسی فضاهای سوبولف در نظر گرفته شده است.

- قسمت دوم: حقایق اساسی در مورد فضاهای هیلبرت. نظریه اصلی عملگرهای خطی (محدود و نامحدود) در فضاهای هیلبرت و کلاس‌های ویژه عملگرهای خطی - عملگرهای فشرده، هیلبرت اشمیت، کلاس ردیابی و شرودینگر، بر حسب نیاز در فیزیک کوانتومی و نظریه اطلاعات کوانتومی - بررسی می‌شوند. این بخش همچنین شامل تجزیه و تحلیل طیفی دقیقی از تمام کلاس‌های اصلی عملگرهای خطی، از جمله کامل بودن توابع ویژه تعمیم‌یافته، و همچنین نگاشت‌های (کاملاً) مثبت، به‌ویژه عملیات کوانتومی است.

- قسمت سوم: روش‌های مستقیم. محاسبه تغییرات و کاربردهای آنها برای مسائل مرزی و مقدار ویژه برای عملگرهای دیفرانسیل جزئی خطی و غیرخطی. نویسندگان با بحث در مورد اصل تغییرات هوهنبرگ-کوهن به پایان می‌رسند.

پیوست‌ها حاوی شواهدی از نتایج کلی‌تر و عمیق‌تر، از جمله تکمیل‌ها، حقایق اساسی در مورد فضاهای بردار توپولوژیکی محدب محلی هاسدورف متریزه‌پذیر، نتایج بنیادی بایر و پیامدهای اصلی آنها و عملکردهای دوخطی.

روش های ریاضی در فیزیک هدف جامعه وسیعی از دانشجویان فارغ التحصیل در رشته های ریاضیات، فیزیک ریاضی، نظریه اطلاعات کوانتومی، فیزیک و مهندسی است. و همچنین محققان این رشته ها. محتوای گسترده و به‌روزرسانی‌های مرتبط، این نسخه جدید را به منبعی ارزشمند برای کسانی که در این رشته‌ها کار می‌کنند تبدیل می‌کند.

The second edition of this textbook presents the basic mathematical knowledge and skills that are needed for courses on modern theoretical physics, such as those on quantum mechanics, classical and quantum field theory, and related areas. The authors stress that learning mathematical physics is not a passive process and include numerous detailed proofs, examples, and over 200 exercises, as well as hints linking mathematical concepts and results to the relevant physical concepts and theories. All of the material from the first edition has been updated, and five new chapters have been added on such topics as distributions, Hilbert space operators, and variational methods.

The text is divided into three parts:

- Part I: A brief introduction to (Schwartz) distribution theory. Elements from the theories of ultra distributions and (Fourier) hyperfunctions are given in addition to some deeper results for Schwartz distributions, thus providing a rather comprehensive introduction to the theory of generalized functions. Basic properties and methods for distributions are developed with applications to constant coefficient ODEs and PDEs. The relation between distributions and holomorphic functions is considered, as well as basic properties of Sobolev spaces.

- Part II: Fundamental facts about Hilbert spaces. The basic theory of linear (bounded and unbounded) operators in Hilbert spaces and special classes of linear operators - compact, Hilbert-Schmidt, trace class, and Schrödinger operators, as needed in quantum physics and quantum information theory – are explored. This section also contains a detailed spectral analysis of all major classes of linear operators, including completeness of generalized eigenfunctions, as well as of (completely) positive mappings, in particular quantum operations.

- Part III: Direct methods of the calculus of variations and their applications to boundary- and eigenvalue-problems for linear and nonlinear partial differential operators. The authors conclude with a discussion of the Hohenberg-Kohn variational principle.

The appendices contain proofs of more general and deeper results, including completions, basic facts about metrizable Hausdorff locally convex topological vector spaces, Baire’s fundamental results and their main consequences, and bilinear functionals.

Mathematical Methods in Physics is aimed at a broad community of graduate students in mathematics, mathematical physics, quantum information theory, physics and engineering, as well as researchers in these disciplines. Expanded content and relevant updates will make this new edition a valuable resource for those working in these disciplines.