Mathematical Methods for Cancer Evolution

هدف این مونوگراف توصیف پیشرفت‌های اخیر در مدل‌سازی ریاضی و تجزیه و تحلیل ریاضی برخی از مشکلات ناشی از زیست‌شناسی سلولی است. سلول‌های سرطانی و رشد آن‌ها در چند مرحله از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. برای توصیف این رویدادها، مدل‌های چند مقیاسی، شامل متغیرهای محیطی با توزیع پیوسته و چندین مؤلفه مرتبط با ذرات، اعمال می‌شوند. شبیه‌سازی‌های ترکیبی نیز با استفاده از گسسته‌سازی متغیرهای محیطی و روش مونت کارلو برای متغیرهای ذرات اصلی انجام می‌شود. مبانی دقیق ریاضی پایه این ابزار است. این تک نگاری از چهار فصل تشکیل شده است. سه فصل اول مربوط به مدل سازی است، در حالی که فصل آخر به تجزیه و تحلیل ریاضی اختصاص دارد. فصل اول به دینامیک مولکولی می پردازد که در مراحل اولیه تهاجم سرطان رخ می دهد. یک مدل شبکه مسیر بر اساس یک سناریوی بیولوژیکی ساخته می‌شود و سپس ساختارهای ریاضی آن تعیین می‌شود. در فصل دوم مدلسازی ریاضی با مروری بر چندین بینش بیولوژیکی با استفاده از معادلات دیفرانسیل جزئی معرفی شده است. حمل و نقل و گرادیان عوامل اصلی هستند و چندین مدل از جمله سیستم های Keller-Segel معرفی شده اند. فصل سوم به روش میانگین‌گیری برای مدل‌سازی حرکت ذرات، بر اساس نظریه‌های میدان میانگین، با استفاده از رویکردهای قطعی و تصادفی می‌پردازد. سپس پارامترهای مناسب برای شبیه‌سازی تصادفی بررسی می‌شوند. مدل بخش در نهایت به عنوان یک برنامه کاربردی پیشنهاد می شود. در فصل چهارم، ویژگی‌های ترمودینامیکی این مدل‌ها و نحوه استفاده از این ساختارها در تحلیل ریاضی، یعنی کموتاکسی منفی، سیستم‌های سهموی با محاسبه اصطلاح غیرمحلی برای واکنش‌های شیمیایی، سیستم‌های واکنش محافظه‌کارانه جرمی- انتشار و رقابتی بررسی می‌شود. سیستم های کموتاکسی مونوگراف با روش محدودیت مقیاس ضعیف اعمال شده در معادله اسمولوچوفسکی-پواسون به پایان می رسد.

The purpose of this monograph is to describe recent developments in mathematical modeling and mathematical analysis of certain problems arising from cell biology. Cancer cells and their growth via several stages are of particular interest. To describe these events, multi-scale models are applied, involving continuously distributed environment variables and several components related to particles. Hybrid simulations are also carried out, using discretization of environment variables and the Monte Carlo method for the principal particle variables. Rigorous mathematical foundations are the bases of these tools.The monograph is composed of four chapters. The first three chapters are concerned with modeling, while the last one is devoted to mathematical analysis. The first chapter deals with molecular dynamics occurring at the early stage of cancer invasion. A pathway network model based on a biological scenario is constructed, and then its mathematical structures are determined. In the second chapter mathematical modeling is introduced, overviewing several biological insights, using partial differential equations. Transport and gradient are the main factors, and several models are introduced including the Keller‒Segel systems. The third chapter treats the method of averaging to model the movement of particles, based on mean field theories, employing deterministic and stochastic approaches. Then appropriate parameters for stochastic simulations are examined. The segment model is finally proposed as an application. In the fourth chapter, thermodynamic features of these models and how these structures are applied in mathematical analysis are examined, that is, negative chemotaxis, parabolic systems with non-local term accounting for chemical reactions, mass-conservative reaction-diffusion systems, and competitive systems of chemotaxis. The monograph concludes with the method of the weak scaling limit applied to the Smoluchowski‒Poisson equation.