Mathematical Intuitionism and Intersubjectivity: A Critical Exposition of Arguments for Intuitionism

در سال 1907 لویتزن اگبرتوس یان بروور از پایان نامه دکترای خود در زمینه مبانی ریاضیات دفاع کرد و با این رویداد نسخه جدید شهودگرایی ریاضی به وجود آمد. بروور به جریان های اصلی فلسفه ریاضیات حمله کرد: فرمالیست ها و افلاطونی ها. در مجموع، هر دو این مکتب شروع به تلقی شهودگرایی به عنوان مضرترین طرف در میان تمام فلسفه های شناخته شده ریاضیات کردند. این منشأ بحث 90 ساله در مورد شهودگرایی بود. از آنجایی که هر دو طرف در استدلال های خود به گزاره های فلسفی متوسل شده اند، بحث ها مورد توجه فلاسفه نیز قرار گرفته است. در اینجا می توان پرسید که یک فیلسوف چه نقشی می تواند در مناقشات بر سر شهودگرایی ریاضی ایفا کند. آیا او می تواند به طور منطقی وارد اختلاف بین ریاضیدانان شود؟ من معتقدم که این اختلافات مستلزم مداخله یک فیلسوف است. سه برهان معروف برای شهودگرایی، استدلال‌های بروور، هیتینگ و دامت، مبتنی بر ادعاهای هستی‌شناختی و معرفت‌شناختی هستند، یا متوسل به تزهایی هستند که به درستی به یک نظریه معنا تعلق دارند. این خطوط استدلال باید بررسی شوند تا دریابیم مفروضات آنها چیست، آیا واقعاً پیامدهای شهودی از آن مفروضات ناشی می شود یا خیر، و در نهایت، آیا مقدمات درست هستند و پوچ نیستند. بنابراین، قصد این کتاب بررسی جدی استدلال های ریاضیدانان است، حتی اگر فلسفه زمینه اصلی مورد علاقه آنها نباشد. بحث در مورد اینکه آیا آنچه ریاضیدانان در مورد عینیت و واقعیت واقعیات ریاضی گفته اند متعلق به فلسفه است یا خیر، منطقی نیست.

In 1907 Luitzen Egbertus Jan Brouwer defended his doctoral dissertation on the foundations of mathematics and with this event the modem version of mathematical intuitionism came into being. Brouwer attacked the main currents of the philosophy of mathematics: the formalists and the Platonists. In tum, both these schools began viewing intuitionism as the most harmful party among all known philosophies of mathematics. That was the origin of the now-90-year-old debate over intuitionism. As both sides have appealed in their arguments to philosophical propositions, the discussions have attracted the attention of philosophers as well. One might ask here what role a philosopher can play in controversies over mathematical intuitionism. Can he reasonably enter into disputes among mathematicians? I believe that these disputes call for intervention by a philo­ sopher. The three best-known arguments for intuitionism, those of Brouwer, Heyting and Dummett, are based on ontological and epistemological claims, or appeal to theses that properly belong to a theory of meaning. Those lines of argument should be investigated in order to find what their assumptions are, whether intuitionistic consequences really follow from those assumptions, and finally, whether the premises are sound and not absurd. The intention of this book is thus to consider seriously the arguments of mathematicians, even if philosophy was not their main field of interest. There is little sense in disputing whether what mathematicians said about the objectivity and reality of mathematical facts belongs to philosophy, or not.