Manifolds and Modular Forms

در طول ترم زمستانی 1987/88 در دانشگاه بن دوره ای تحت عنوان "منیفولدها و فرم های مدولار" گذراندم. من می خواستم تئوری "جنس بیضوی" را توسعه دهم و خودم در این مناسبت آن را یاد بگیرم. این نظریه به دلیل Ochanine، Landweber، Stong و دیگران در آن زمان نسبتاً جدید بود. منظور از کلمه "جنس" به معنای کتاب من "Neue Topologische Methoden in der Algebraischen Geometrie" است که در سال 1956 منتشر شد: یک جنس یک هم شکلی از حلقه هم شکلی خار از منیفولدهای فشرده جهت دار به اعداد مختلط است. نمونه های اساسی امضا و جنس A هستند. جنس A برابر است با جنس حسابی یک منیفولد جبری، به شرطی که اولین کلاس Chern از منیفولد ناپدید شود. به گفته آتیه و سینگر، این شاخص عملگر دیراک روی یک منیفولد فشرده ریمانی با ساختار چرخشی است. جنس بیضوی به یک پارامتر بستگی دارد. برای مقادیر ویژه پارامتر، امضا و A-genus بدست می آید. در واقع، جنس بیضوی جهانی را می توان به عنوان یک شکل مدولار با توجه به زیر گروه r (2) گروه مدولار در نظر گرفت. دو کاسپ 0 نشان دهنده و A-genus. ویتن و سایر فیزیکدانان با استفاده از فضای حلقه آزاد یک منیفولد، انگیزه هایی را برای جنس بیضوی توسط فیزیک نظری ارائه کرده اند.

During the winter term 1987/88 I gave a course at the University of Bonn under the title "Manifolds and Modular Forms". I wanted to develop the theory of "Elliptic Genera" and to learn it myself on this occasion. This theory due to Ochanine, Landweber, Stong and others was relatively new at the time. The word "genus" is meant in the sense of my book "Neue Topologische Methoden in der Algebraischen Geometrie" published in 1956: A genus is a homomorphism of the Thorn cobordism ring of oriented compact manifolds into the complex numbers. Fundamental examples are the signature and the A-genus. The A-genus equals the arithmetic genus of an algebraic manifold, provided the first Chern class of the manifold vanishes. According to Atiyah and Singer it is the index of the Dirac operator on a compact Riemannian manifold with spin structure. The elliptic genera depend on a parameter. For special values of the parameter one obtains the signature and the A-genus. Indeed, the universal elliptic genus can be regarded as a modular form with respect to the subgroup r (2) of the modular group; the two cusps 0 giving the signature and the A-genus. Witten and other physicists have given motivations for the elliptic genus by theoretical physics using the free loop space of a manifold.