Lundberg Approximations for Compound Distributions with Insurance Applications

این یادداشت‌ها خلاصه‌ای از بسیاری از تحقیقات اخیر ما را نشان می‌دهد که در سال‌های اخیر در مورد تقریب‌ها و مرزهایی که برای توزیع‌های مرکب و مقادیر مرتبط که در بیمه و سایر زمینه‌های کاربردی در احتمال کاربردی مورد علاقه هستند، انجام شده است. تکنیک اساسی به کار گرفته شده در استخراج بسیاری از کران ها، استقرایی است، رویکردی که با استدلال های استفاده شده توسط Sparre-Andersen (1957) در ارتباط با مدل ریسک تجدید در بیمه انگیزه دارد. این تکنیک هم ساده و هم قدرتمند است و نتایج کاملاً کلی به همراه دارد. خود کرانها توسط کرانهای نمایی کلاسیک لوندبرگ که در مورد احتمالات خرابی اعمال می شود، ایجاد می شوند، و ارتباط با توزیع ترکیبی از طریق تفسیر احتمال خرابی به عنوان احتمال دنباله یک توزیع هندسی مرکب است. مرزهای نمایی اولیه در ویلموت و لین (1994) و به دنبال آن تعمیم غیرتصادفی در ویلموت (1994) ارائه شد. سایر کارهای مرتبط در مورد تقریب برای توزیع های مرکب و کاربردها برای مشکلات مختلف در بیمه به طور خاص و احتمال کاربردی به طور کلی نیز در فصل های بعدی مورد بحث قرار می گیرد. نتایج به‌دست‌آمده یا آرگومان‌های به‌کار گرفته‌شده در این موقعیت‌ها مشابه نتایج مربوط به توزیع‌های مرکب است، و بنابراین ما احساس کردیم مفید است که آنها را در یادداشت‌ها لحاظ کنیم. در بسیاری از موارد، ما نتایج دقیقی را گنجانده‌ایم، زیرا این نتایج در ارتباط با مرزها و تقریب‌های توسعه‌یافته مفید هستند.

These notes represent our summary of much of the recent research that has been done in recent years on approximations and bounds that have been developed for compound distributions and related quantities which are of interest in insurance and other areas of application in applied probability. The basic technique employed in the derivation of many bounds is induc­ tive, an approach that is motivated by arguments used by Sparre-Andersen (1957) in connection with a renewal risk model in insurance. This technique is both simple and powerful, and yields quite general results. The bounds themselves are motivated by the classical Lundberg exponential bounds which apply to ruin probabilities, and the connection to compound dis­ tributions is through the interpretation of the ruin probability as the tail probability of a compound geometric distribution. The initial exponential bounds were given in Willmot and Lin (1994), followed by the nonexpo­ nential generalization in Willmot (1994). Other related work on approximations for compound distributions and applications to various problems in insurance in particular and applied probability in general is also discussed in subsequent chapters. The results obtained or the arguments employed in these situations are similar to those for the compound distributions, and thus we felt it useful to include them in the notes. In many cases we have included exact results, since these are useful in conjunction with the bounds and approximations developed.