Logische Grundlagen der Mathematik

این کتاب دانش منطقی پایه، اصول اساسی اثبات، روش‌ها و بینش‌هایی را که هر ریاضی‌دانی باید داشته باشد، ارائه می‌کند. به سؤالات زیر پرداخته می شود: چه چیزی مجموعه های متناهی را از نامتناهی متمایز می کند؟ چگونه می توان اعداد کل، گویا و حقیقی را از اعداد طبیعی و دومی را از مجموعه های خالص ساخت؟ کدام ساختارهای نظری مجموعه‌های پایه برای این کار و به طور کلی در ریاضیات مورد نیاز است؟ ویژگی های توپولوژیکی اصلی مجموعه اعداد حقیقی چیست؟ فرضیه پیوستگی چیست؟ بدیهیات انتخاب برای چیست؟ آیا می توان اعداد طبیعی یا حقیقی را کاملاً بدیهی توصیف کرد؟ اعداد غیر استاندارد با استفاده از روش ultrapower ساخته می شوند. علاوه بر این، یک اثبات آسان برای اولین قضیه ناقص بودن گودل ارائه شده است.\"

Das Buch vermittelt logisches Grundwissen, fundamentale Beweisprinzipien, Methoden und Einsichten, welche jede Mathematikerin/jeder Mathematiker besitzen sollte. Folgenden Fragestellungen wird dabei nachgegangen: Was unterscheidet endliche von unendlichen Mengen? Wie lassen sich die ganzen, rationalen und reellen Zahlen aus den natürlichen Zahlen und letztere aus reinen Mengen konstruieren? Welche grundlegenden mengentheoretischen Konstruktionen werden hierfür und überhaupt in der Mathematik gebraucht? Welche grundlegenden topologischen Eigenschaften besitzt die Menge der reellen Zahlen? Wie lautet die Kontinuumshypothese? Wofür wird das Auswahlaxiom benötigt? Lassen sich die natürlichen oder reellen Zahlen vollständig axiomatisch beschreiben? Mit Hilfe der Ultrapotenzmethode werden Nichtstandard-Zahlen konstruiert. Darüber hinaus wird ein leicht zugänglicher Beweis des Ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes geliefert."