Logarithmic Potentials with External Fields

در سال‌های اخیر، نظریه تقریب و نظریه چندجمله‌ای متعامد، شاهد افزایش چشمگیر تعداد راه‌حل‌های مسائل دشوار و قبلاً غیرقابل لمس بوده‌اند. این به دلیل تعامل تکنیک‌های نظری تقریب با نظریه پتانسیل کلاسیک است (به طور دقیق‌تر، نظریه پتانسیل‌های لگاریتمی، که مستقیماً به چند جمله‌ای‌ها و مسائل در صفحه یا روی خط واقعی مرتبط است). بیشتر کاربردها مبتنی بر گسترش نظریه پتانسیل لگاریتمی کلاسیک به مواردی هستند که وزن (میدان خارجی) وجود دارد. فهرست پیشرفت‌های اخیر کاملاً چشمگیر است و شامل موارد زیر است: ایجاد نظریه چند جمله‌ای متعامد غیر کلاسیک با توجه به وزن‌های نمایی. تئوری چند جمله ای های متعامد با توجه به معیارهای عمومی با پشتیبانی فشرده. تئوری چند جمله ای های ناقص و تعمیم های گسترده آنها و نظریه تقریب پاد چند نقطه ای. رویکرد جدید راه‌حل‌هایی را برای بسیاری از مشکلات به‌وجود آورده است. مهم‌تر از همه، مسائل فروید در مجانبی چند جمله‌ای متعامد با توجه به وزن‌های شکل exp(-Ixl). حدس \"l/9-th" در تقریب منطقی exp(x); و مسئله ثابت مجانبی دقیق در تقریب منطقی Ixl. یکی از اهداف کتاب حاضر ارائه مقدمه ای مستقل بر نظریه پتانسیل «وزن دار» و همچنین کاربردهای متعدد آن است. به عنوان یک محصول جانبی، نظریه کلاسیک پتانسیل های لگاریتمی را نیز به طور کامل توسعه خواهیم داد.

In recent years approximation theory and the theory of orthogonal polynomials have witnessed a dramatic increase in the number of solutions of difficult and previously untouchable problems. This is due to the interaction of approximation theoretical techniques with classical potential theory (more precisely, the theory of logarithmic potentials, which is directly related to polynomials and to problems in the plane or on the real line). Most of the applications are based on an exten­ sion of classical logarithmic potential theory to the case when there is a weight (external field) present. The list of recent developments is quite impressive and includes: creation of the theory of non-classical orthogonal polynomials with re­ spect to exponential weights; the theory of orthogonal polynomials with respect to general measures with compact support; the theory of incomplete polynomials and their widespread generalizations, and the theory of multipoint Pade approximation. The new approach has produced long sought solutions for many problems; most notably, the Freud problems on the asymptotics of orthogonal polynomials with a respect to weights of the form exp(-Ixl ); the "l/9-th" conjecture on rational approximation of exp(x); and the problem of the exact asymptotic constant in the rational approximation of Ixl. One aim of the present book is to provide a self-contained introduction to the aforementioned "weighted" potential theory as well as to its numerous applications. As a side-product we shall also fully develop the classical theory of logarithmic potentials.