Lineární algebra

1. Opakování......Page 1
1.1. Základní geometrické pojmy......Page 2
1.2.1. Souřadnice v rovině......Page 5
1.2.2. Rovnice přímky a parametrický tvar přímky v rovině......Page 7
1.3.2. Rovnice roviny a parametrické vyjádření roviny v prostoru......Page 12
1.3.3. Soustava rovnic přímky a parametrický tvar přímky v prostoru......Page 15
1.4.2. Čísla komplexně sdružená......Page 19
1.4.4. Základní věta algebry......Page 20
1.4.5. Komplexní rovina......Page 21
1.4.7. Goniometrický tvar komplexního čísla......Page 23
1.4.8. Geometrický význam násobení komplexních čísel......Page 24
1.5. Zobrazení......Page 27
2.1.1. Prokládání kružnice danými body.......Page 32
2.1.2. Vyčíslování chemické rovnice.......Page 33
2.1.3. Řízení pohybu tělesa po přímce.......Page 34
2.1.4. Navigace v rovině pomocí vzdálených majáků.......Page 35
2.1.6. Elektrické obvody.......Page 38
2.2.1. Soustavy lineárních rovnic.......Page 39
2.2.2. Aritmetické vektory.......Page 40
2.3. Ekvivalentní a elementární úpravy......Page 41
2.3.1. Soustava s jedním řešením......Page 43
2.3.2. Maticový zápis......Page 44
2.3.3. Jeden parametr......Page 46
2.3.4. Více parametrů......Page 47
2.4.1. Odstupňovaný tvar......Page 48
2.4.3. Zpětná substituce......Page 51
2.4.4. Shrnutí......Page 52
2.5.1. Řádkový pohled na soustavy lineárních rovnic......Page 53
2.5.2. Sloupcový geometrický pohled.......Page 54
2.5.3. Význam obou geometrických pohledů na soustavu lineárních rovnic......Page 57
2.6.1. Numerická stabilita......Page 58
2.6.2. Špatně podmíněné soustavy......Page 59
2.7. Jak dlouho to bude trvat......Page 60
3.1. Motivace......Page 68
3.2. Definice tělesa......Page 70
3.3.2. Modulární počítání......Page 73
3.3.3. Existence inverzních prvků v Zn......Page 76
3.4. Charakteristika......Page 79
3.5.1. Čtyřprvkové těleso......Page 80
3.5.5. Kvaterniony......Page 81
4. Matice......Page 87
4.1. Matice, jednoduché operace, typy matic......Page 89
4.1.1. Sčítání......Page 90
4.1.3. Transponování......Page 91
4.2. Součin matic......Page 92
4.2.1. Součin matice s vektorem......Page 93
4.2.2. Součin dvou matic......Page 94
4.2.3. Elementární matice......Page 98
4.2.4. Vlastnosti součinu......Page 99
4.2.5. Tři aplikace......Page 103
4.2.6. Blokové násobení matic......Page 106
4.3.1. Zobrazení v rovině......Page 108
4.3.2. Zobrazení určené maticí......Page 111
4.3.3. Součin matic a skládání zobrazení......Page 115
4.3.4. Duální zobrazení......Page 120
4.4.1. Algebraický pohled......Page 121
4.4.2. Hledání matice inverzní zprava......Page 122
4.4.3. Hledání matice inverzní zleva......Page 124
4.4.4. Regulární matice......Page 128
4.4.5. Charakterizace regulárních matic......Page 130
4.4.6. Regularita a maticové operace......Page 133
4.5.1. Tvar řešení......Page 135
4.5.2. LU–rozklad......Page 137
5.1. Definice, příklady a základní vlastnosti......Page 150
5.1.1. Aritmetické vektorové prostory......Page 151
5.1.2. Další příklady......Page 152
5.1.3. Jednoduché vlastnosti......Page 153
5.2.1. Podprostory Rn......Page 154
5.2.2. Podprostory Tn......Page 155
5.2.3. Další příklady podprostorů......Page 156
5.2.5. Lineární obal......Page 157
5.2.6. Množina generátorů......Page 158
5.2.7. Opět soustavy lineárních rovnic......Page 159
5.2.8. Sloupcový a řádkový prostor matice......Page 160
5.2.9. Prostory určené maticí a elementární úpravy......Page 161
5.3. Lineární závislost a nezávislost......Page 163
5.3.1. Odstupňovaný tvar a elementární úpravy......Page 166
5.4. Báze......Page 170
5.4.1. Steinitzova věta o výměně a důsledky, dimenze......Page 173
5.4.2. Báze jako souřadnicový systém......Page 177
5.4.3. Přechod mezi bázemi......Page 180
5.5. Hodnost matice......Page 181
5.5.1. Bázové sloupce matice......Page 182
5.5.2. Hodnost......Page 183
5.5.3. Skeletní rozklad, Gaussova-Jordanova eliminace......Page 186
5.5.4. Ještě jednou soustavy rovnic, dimenze jádra a obrazu......Page 187
5.6. Průnik a součet podprostorů......Page 190
5.7. Prostory nekonečné dimenze......Page 193
5.8.1. Kódy neformálně......Page 194
5.8.2. Hammingova vzdálenost......Page 196
5.8.3. Paritní kód, lineární kódy......Page 198
5.8.4. Hammingovy kódy......Page 199
6.1. Definice a příklady......Page 214
6.2. Matice lineárního zobrazení......Page 218
6.3. Skládání lineárních zobrazení......Page 223
6.4. Typy lineárních zobrazení......Page 225
6.4.1. Jádro a obraz......Page 226
6.4.2. Charakterizace mono/epi/izomorfismů......Page 228
6.4.3. Izomorfismus......Page 229
6.5. Prostor lineárních zobrazení......Page 230
6.5.1. Lineární formy......Page 231
6.5.2. Řádkový pohled na soustavy lineárních rovnic......Page 232
7.1.1. Determinant v R2......Page 238
7.1.2. Determinant v R3......Page 241
7.2.1. Zápis permutace......Page 242
7.2.2. Znaménko......Page 245
7.2.3. Počet permutací......Page 247
7.3.1. Definice......Page 248
7.3.2. Základní vlastnosti......Page 249
7.3.3. Další kriterium regularity......Page 253
7.3.4. Determinant součinu......Page 254
7.3.5. Cramerovo pravidlo......Page 255
7.4. Rozvoj, adjungovaná matice......Page 256
7.4.1. Adjungovaná matice......Page 259
7.5. Vandermondův determinant......Page 261
Obsah......Page 267