Lineare Integraloperatoren

تقریباً تمام مسائل مرزی و مقدار ویژه در فیزیک ریاضی را می توان به معادلات انتگرال تبدیل کرد. ساخت نظریه معادلات انتگرال توسط 1. Fredholm، D. Hilbert و E. Schmidt در آغاز این قرن پیشرفت زیادی را برای فیزیک ریاضی به ارمغان آورد. اگرچه روش‌های دیگری که برخی از آن‌ها گسترده‌تر بودند، بعداً یافت شدند، روش معادلات انتگرال هنوز ابزاری مؤثر و پرکاربرد برای مقابله با چنین مسائلی، به‌ویژه در فیزیک و مهندسی است. توسعه تحلیل تابعی امروزی با معادلات انتگرال آغاز شد که موضوع اصلی آن مطالعه عملگرهای خطی از یک فضای برداری توپولوژیکی به فضای دیگر است. در این زمینه، نظریه معادلات انتگرال به عنوان یک مورد خاص ظاهر می شود: فضاهای برداری در نظر گرفته شده در اینجا، فضاهای تابع Banach هستند، عملگرها عملگرهای انتگرال هستند. مسئله ارزش ویژه برای یک معادله انتگرال یک مورد خاص از نظریه طیفی عملگرهای خطی است. استفاده از مفاهیم و روش‌های تحلیل تابعی نه تنها نظریه معادلات انتگرال را یکپارچه‌تر و شفاف‌تر می‌کند، بلکه آن را به‌طور چشمگیری ساده‌سازی و گسترش می‌دهد که ارائه مدرن بدون این عناصر غیرقابل تصور است. از سوی دیگر، پرداختن به نظریه معادلات انتگرال به عنوان محصول فرعی یا مجموعه ای از مثال ها در چارچوب تحلیل تابعی کافی نیست. چنین دیدگاهی نیازهای برنامه ها را برآورده نمی کند. بنابراین، در کتاب حاضر، یک مسیر میانه در نظر گرفته شده است: ابتدا مقدمه ای بر تحلیل عملکردی ارائه شده است که از نظر گستره و انتخاب مواد، متناسب با عملگرهای انتگرال است. این توسط یک تئوری از عملگرهای انتگرال همراه با شرح مفصلی از برنامه های معمولی دنبال می شود.

Die Rand- und Eigenwertprobleme der Mathematischen Physik lassen sich fast alle in Integralgleichungen umformen. Der Aufbau der Theorie der Integralgleichungen durch 1. Fredholm, D. Hilbert und E. Schmidt zu Beginn unseres Jahrhunderts brachte daher große Fortschritte für die Mathematische Physik. Obwohl später andere und zum Teil weit­ reichendere Methoden gefunden worden sind, ist die Integralgleichungsmethode noch heute ein wirkungsvolles und vor allem in der Physik und den Ingenieurwissenschaften viel benutztes Instrument zur Behandlung solcher Probleme. Mit den Integralgleichungen begann die Entwicklung der heutigen Funktionalanalysis, deren Hauptgegenstand die Untersuchung der linearen Operatoren von einem topologischen Vektorraum in einen anderen ist. Die Theorie der Integralgleichungen erscheint in diesem Rahmen als Spezialfall: Die betrachteten Vektorräume sind hier Banachsche Funktionen­ räume, die Operatoren Integraloperatoren. Das Eigenwertproblem für eine Integralgleichung erweist sich als Spezialfall der Spektraltheorie linearer Operatoren. Die Verwendung der Begriffe und Methoden der Funktionalanalysis macht die Theorie der Integralgleichungen nicht nur einheitlicher und durchsichtiger, sie vereinfacht und erweitert sie so wesentlich, daß eine moderne Darstellung ohne diese Elemente nicht denkbar ist. Andererseits genügt es nicht, die Theorie der Integralgleichungen als Nebenprodukt oder Beispielsammlung im Rahmen der Funktionalanalysis abzuhandeln; eine solche Auffassung wird den Erforder­ nissen der Anwendungen nicht gerecht. Im vorliegenden Buch wird daher ein mittlerer Weg eingeschlagen: Es wird eine Einführung in die Funktionalanalysis vorausgeschickt, die in Umfang und Stoff auswahl auf die Integraloperatoren zugeschnitten ist; darauf folgt eine Theorie der Integraloperatoren mit ausführlicher Darstellung der typischen Anwendungen.