Linear Programming: A Modern Integrated Analysis

در برنامه‌نویسی خطی: تحلیل یکپارچه مدرن، هر دو روش مرزی (ساده) و نقطه داخلی از قضیه سستی مکمل مشتق شده‌اند و برخلاف اکثر کتاب‌ها، قضیه دوگانگی از لمای فارکاس مشتق شده است که به عنوان یک قضیه جدایی محدب اثبات شده است. بنابراین از خستگی روش سیمپلکس جلوگیری می شود.
یک اثبات جدید و استقرایی از قضیه کانتوروویچ ارائه شده است که مربوط به همگرایی روش نیوتن است. از روش‌های مرزی، این کتاب روش‌های اولیه و دوگانه سیمپلکس را ارائه می‌کند. بحث گسترده ای در مورد روش های پوسته پوسته شدن آفین اولیه، دوگانه و اولیه-دوگانه ارائه شده است. علاوه بر این، اثبات همگرایی تحت انحطاط، یک نوع متغیر محدود، و یک نوع همگرای فوق خطی از روش مقیاس‌بندی ترکیبی اولیه در یک فصل پوشش داده شده است. روش‌های هموتوپی موانع چند جمله‌ای یا پیروی از مسیر، و روش تبدیل تصویری نیز در فصل نقطه داخلی پوشش داده شده‌اند. علاوه بر فاکتورسازی پراکنده Cholesky و روش گرادیان مزدوج، روش‌های جدید در فصلی جداگانه در پیاده‌سازی ارائه شده‌اند. این روش ها از تکنیک های فاکتورسازی LQ و تکرار شونده استفاده می کنند.

In Linear Programming: A Modern Integrated Analysis, both boundary (simplex) and interior point methods are derived from the complementary slackness theorem and, unlike most books, the duality theorem is derived from Farkas's Lemma, which is proved as a convex separation theorem. The tedium of the simplex method is thus avoided.
A new and inductive proof of Kantorovich's Theorem is offered, related to the convergence of Newton's method. Of the boundary methods, the book presents the (revised) primal and the dual simplex methods. An extensive discussion is given of the primal, dual and primal-dual affine scaling methods. In addition, the proof of the convergence under degeneracy, a bounded variable variant, and a super-linearly convergent variant of the primal affine scaling method are covered in one chapter. Polynomial barrier or path-following homotopy methods, and the projective transformation method are also covered in the interior point chapter. Besides the popular sparse Cholesky factorization and the conjugate gradient method, new methods are presented in a separate chapter on implementation. These methods use LQ factorization and iterative techniques.