Limit Theorems for Unions of Random Closed Sets

این کتاب به قضایای حدی و قوانین اعداد بزرگ برای اتحادیه های مقیاس شده مجموعه های تصادفی مستقل و توزیع شده یکسان مربوط می شود. این نتایج، حقایق شناخته شده از نظریه مقادیر افراطی را تعمیم می دهد. توزیع‌های محدودکننده (به نام union-stable) برای بسیاری از نمونه‌های مجموعه‌های بسته تصادفی مشخص شده و به صراحت یافت می‌شوند. سرعت همگرایی در قضایای حدی برای اتحادیه ها با استفاده از روش متریک احتمال تخمین زده می شود. این شامل ارزیابی فواصل بین توزیع های مجموعه های تصادفی ساخته شده مشابه با فواصل شناخته شده بین توزیع های متغیرهای تصادفی است. این تکنیک ها شامل توابع به طور منظم متغیر، خواص توپولوژیکی فضای مجموعه های بسته، ظرفیت های Choquet، تجزیه و تحلیل محدب و توابع چند ارزشی است. علاوه بر این، مفهوم تنوع منظم برای توابع چند ارزشی (مجموعه-مقدار) توضیح داده شده است. کاربرد قضایای حدی برای شبیه‌سازی مجموعه‌های تصادفی، آزمون‌های آماری، تقریب‌های چندضلعی فشرده‌ها، قضایای حدی برای ماکزیمم‌های نقطه‌ای توابع تصادفی در نظر گرفته شده‌اند. چندین مشکل باز ذکر شده است. این کتاب که عمدتاً به محققان در تئوری مجموعه‌های تصادفی، هندسه تصادفی و نظریه ارزش شدید خطاب می‌شود، برای ریاضیدانان کاربردی که روی کاربردهای فرآیندهای اکسترومی و همتایان فضایی آن‌ها کار می‌کنند نیز مورد توجه خواهد بود. این کتاب مستقل است و هیچ آشنایی با نظریه مجموعه های تصادفی فرض نمی شود.

The book concerns limit theorems and laws of large numbers for scaled unionsof independent identically distributed random sets. These results generalizewell-known facts from the theory of extreme values. Limiting distributions (called union-stable) are characterized and found explicitly for many examples of random closed sets. The speed of convergence in the limit theorems for unions is estimated by means of the probability metrics method.It includes the evaluation of distances between distributions of random sets constructed similarly to the well-known distances between distributions of random variables. The techniques include regularly varying functions, topological properties of the space of closed sets, Choquet capacities, convex analysis and multivalued functions. Moreover, the concept of regular variation is elaborated for multivalued (set-valued) functions. Applications of the limit theorems to simulation of random sets, statistical tests, polygonal approximations of compacts, limit theorems for pointwise maxima of random functions are considered. Several open problems are mentioned. Addressed primarily to researchers in the theory of random sets, stochastic geometry and extreme value theory, the book will also be of interest to applied mathematicians working on applications of extremal processes and their spatial counterparts. The book is self-contained, and no familiarity with the theory of random sets is assumed.