Limit Theorems for the Riemann Zeta-Function

موضوع این کتاب نظریه اعداد احتمالی است. در یک مفهوم گسترده، نظریه اعداد احتمالی بخشی از نظریه اعداد تحلیلی است، که در آن از روش‌ها و ایده‌های نظریه احتمال برای مطالعه توزیع مقادیر اشیاء حسابی استفاده می‌شود. این معمولاً پیچیده است، زیرا گفتن چیزی در مورد ارزش های واقعی آنها دشوار است. به همین دلیل است که معمولاً مشکل زیر بررسی می شود: با توجه به مجموعه ای، مقادیر یک شی حسابی چند بار وارد این مجموعه می شوند؟ به نظر می رسد که این فرکانس از قوانین دقیق ریاضی پیروی می کند. در اینجا ما یک قیاس با مکانیک کوانتومی را کشف می کنیم که در آن توصیف رفتار آشفته یک ذره غیرممکن است، اما تعداد زیادی از ذرات از قوانین آماری تبعیت می کنند. موضوعات مورد بررسی این کتاب سری دیریکله است و همانطور که از عنوان نشان می دهد، توجه اصلی به تابع زتا ریمان معطوف شده است. در بررسی توزیع مقادیر سری دیریکله از همگرایی ضعیف معیارهای احتمال در فضاهای مختلف (یکی از روش های اصلی نظریه احتمال مجانبی) استفاده می شود. استفاده از این روش توسط H. Bohr در دهه سوم این قرن راه اندازی شد و به همراه B. Jessen در آثار او پیاده سازی شد. توسعه بیشتر این ایده در مقالات B. Jessen و A. Wintner، V. Borchsenius و B.

The subject of this book is probabilistic number theory. In a wide sense probabilistic number theory is part of the analytic number theory, where the methods and ideas of probability theory are used to study the distribution of values of arithmetic objects. This is usually complicated, as it is difficult to say anything about their concrete values. This is why the following problem is usually investigated: given some set, how often do values of an arithmetic object get into this set? It turns out that this frequency follows strict mathematical laws. Here we discover an analogy with quantum mechanics where it is impossible to describe the chaotic behaviour of one particle, but that large numbers of particles obey statistical laws. The objects of investigation of this book are Dirichlet series, and, as the title shows, the main attention is devoted to the Riemann zeta-function. In studying the distribution of values of Dirichlet series the weak convergence of probability measures on different spaces (one of the principle asymptotic probability theory methods) is used. The application of this method was launched by H. Bohr in the third decade of this century and it was implemented in his works together with B. Jessen. Further development of this idea was made in the papers of B. Jessen and A. Wintner, V. Borchsenius and B.