Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik: Eine Einführung in die mathematischen Grundlagen

کتاب درسی مقدمه ای سیستماتیک و فشرده با مبانی ریاضی نظریه دروغ با هدف درک تقارن ها به عنوان یکی از مهم ترین مباحث فیزیک مدرن ارائه می دهد. با شروع بحث در مورد گروه ها و نمایش های خطی آنها، گروه های دروغ و جبرهای دروغ به دو صورت انتزاعی و ماتریسی ارائه می شوند. سپس همبستگی گروه‌های Lie ماتریس خطی با جبرهای Lie واقعی که مدیریت آنها راحت‌تر است، بررسی می‌شود که در آن تابع نمایی ماتریس نقش واسطه را بازی می‌کند. مقدمه زیر برای تئوری ساختار عصرهای دروغ نیمه ساده پیچیده و واقعی امکان یک طبقه بندی را فراهم می کند. موضوعاتی مانند زیر جبرهای Cartan، سیستم های ریشه، ماتریس های Cartan و گروه های Weyl مورد بررسی قرار می گیرند. در نهایت، نمایش‌های جبرهای دروغ نیمه ساده که برای کاربرد نظریه دروغ ضروری هستند، مورد بحث قرار می‌گیرند. موضوعاتی که در آنجا وجود دارد، به عنوان مثال، وزن ها، کاراکترها، عملگرهای کازیمیر، محصولات تانسور، تابلوهای جوان و جبرهای فرعی است. این نمایش از یک فرم خارجی دقیق ریاضی صرف نظر می کند تا محتوا را در دسترس تر کند. 220 مثال محاسبه شده برای تعمیق و تسهیل مطالعه شخصی است.

Das Lehrbuch gibt eine systematische und kompakte Einführung in die mathematischen Grundlagen der Lie-Theorie mit dem Ziel, Symmetrien als eine der wesentlichsten Themen der modernen Physik zu verstehen. Beginnend mit einer Diskussion von Gruppen und deren linearen Darstellungen werden Lie-Gruppen und Lie-Algebren sowohl in abstrakter Form wie auch in Matrix-Form vorgestellt. Daran anschließend wird die Korrelation von linearen Matrix Lie-Gruppen mit einfacher zu handhabenden reellen Lie- Algebren behandelt, bei der die Matrix-Exponentialfunktion die Vermittlerrolle spielt. Die nachfolgende Einführung in die Strukturtheorie von komplexen und reellen halbeinfachen Lie-Agebren erlaubt eine Klassifizierung. Dabei werden Themen wie Cartan-Unteralgebren, Wurzelsysteme, Cartan- Matrizen und Weyl-Gruppen behandelt. Schließlich werden die für die Anwendung der Lie-Theorie wesentlichen Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren erörtert. Die Themen dort sind etwa Gewichte, Charaktere, Casimir-Operatoren, Tensorprodukte, Young-Tableaux und Unteralgebren. Die Darstellung verzichtet auf eine strenge mathematische äußere Form, um die Inhalte leichter zugänglich zu machen. 220 durchgerechnete Beispiele dienen der Vertiefung und erleichtern das Selbststudium.