Lie Groups

این کتاب برای دوره تحصیلات تکمیلی یک ساله در گروه های دروغ و جبرهای دروغ در نظر گرفته شده است. این کتاب فراتر از تئوری بازنمایی گروه‌های دروغ فشرده است که اساس بسیاری از متون است و طیف وسیعی از مواد را با دقت انتخاب شده برای ارائه تصویر بزرگ‌تر به دانش‌آموز ارائه می‌کند. این کتاب به گونه ای تنظیم شده است که بسته به علایق فرد، مسیرهای مختلفی را از طریق مطالب ارائه می دهد. این ویرایش دوم دارای مطالب جدید قابل توجهی است، از جمله بحث‌های بهبود یافته در مورد اصول اساسی، ساده‌سازی برخی از شواهد، و بسیاری از نتایج و موضوعاتی که در چاپ اول نبودند.

برای گروه‌های Lie فشرده، کتاب پیتر را پوشش می‌دهد. - قضیه ویل، جبر دروغ، مزدوج توری حداکثر، گروه ویل، ریشه و وزن، فرمول کاراکتر ویل، گروه بنیادی و غیره. این کتاب با مطالعه گروه‌های تحلیلی پیچیده و گروه‌های دروغ غیر فشرده، که تجزیه بروات، گروه‌های کوکستر، انواع پرچم، فضاهای متقارن، نمودارهای ساتاکه، جاسازی‌های گروه‌های دروغ و اسپین را پوشش می‌دهد، ادامه می‌یابد. موضوعات دیگری که مورد بررسی قرار می گیرند عبارتند از نظریه تابع متقارن، نظریه بازنمایی گروه متقارن، دوگانگی فروبنیوس-شور و دوگانگی GL(n) × GL(m) با کاربردهای فراوان. از جمله برخی در نظریه ماتریس تصادفی، قواعد انشعاب، تعیین‌کننده‌های تاپلیتز، ترکیب‌بندی تابلوها، جفت‌های گلفاند، جبرهای هکی، "فلسفه اشکال کاسپ" و هم‌شناسی گراسمان‌ها. یک پیوست خواننده را با استفاده از نرم افزار ریاضی Sage برای محاسبات گروه Lie آشنا می کند.

This book is intended for a one-year graduate course on Lie groups and Lie algebras. The book goes beyond the representation theory of compact Lie groups, which is the basis of many texts, and provides a carefully chosen range of material to give the student the bigger picture. The book is organized to allow different paths through the material depending on one's interests. This second edition has substantial new material, including improved discussions of underlying principles, streamlining of some proofs, and many results and topics that were not in the first edition.

For compact Lie groups, the book covers the Peter–Weyl theorem, Lie algebra, conjugacy of maximal tori, the Weyl group, roots and weights, Weyl character formula, the fundamental group and more. The book continues with the study of complex analytic groups and general noncompact Lie groups, covering the Bruhat decomposition, Coxeter groups, flag varieties, symmetric spaces, Satake diagrams, embeddings of Lie groups and spin. Other topics that are treated are symmetric function theory, the representation theory of the symmetric group, Frobenius–Schur duality and GL(n) × GL(m) duality with many applications including some in random matrix theory, branching rules, Toeplitz determinants, combinatorics of tableaux, Gelfand pairs, Hecke algebras, the "philosophy of cusp forms" and the cohomology of Grassmannians. An appendix introduces the reader to the use of Sage mathematical software for Lie group computations.