Generators and Relations for Discrete Groups

وقتی ما شروع به بررسی دامنه این کتاب کردیم، فهرستی را در نظر گرفتیم که حداقل یک تعریف انتزاعی برای هر گروهی که خواننده ممکن است پیشنهاد کند ارائه کند. اما به زودی متوجه شدیم که محدودیت های کم و بیش خودسرانه ضروری است، زیرا گروه های جالب بسیار زیاد هستند. برای گروه‌های جابجایی درجه 8 یا کمتر (یعنی زیرگروه‌های e)، خواننده نمی‌تواند بهتر از مراجعه به 8 جدول JosEPHINE BurNS (1915) انجام دهد، در حالی که چشمانش را برای اشتباه چاپی باز نگه می‌دارد. جداول خود ما (در صفحات 134-143) با گروه‌های مرتبه پایین، گروه‌های محدود و متناهی تبدیل‌های متجانس، گروه‌های متقارن و متناوب، گروه‌های کسری خطی، و گروه‌هایی که توسط بازتاب‌ها در فضای اقلیدسی واقعی با هر تعداد ابعاد ایجاد می‌شوند، سروکار دارند. بهترین جایگزین برای کاتالوگ گسترده تر، شرح (در فصل 2) روشی است که به موجب آن خواننده می تواند به راحتی تعریف انتزاعی خود را برای تقریباً هر گروه محدود معینی ارائه دهد. این روش به اندازه کافی مکانیکی برای استفاده از یک کامپیوتر الکترونیکی است. همچنین یک روش توپولوژیکی (فصل 3) وجود دارد که نه تنها برای گروه های درجه پایین بلکه برای برخی از گروه های بی نهایت مناسب است. این شامل انتخاب مجموعه ای از ژنراتورها، ساختن یک نمودار خاص (نمودار Cayley یا DEHNsehe Gruppenbild) و جاسازی نمودار در یک سطح است. مواردی که در آنها سطح یک کره یا یک صفحه است در فصل 4 توضیح داده شده است، جایی که ما به صورت جبری و بررسی توپولوژیکی، یک تعریف انتزاعی برای هر یک از 17 گروه فضایی کریستالوگرافی دو بعدی را به دست می آوریم.

When we began to consider the scope of this book, we envisaged a catalogue supplying at least one abstract definition for any finitely­ generated group that the reader might propose. But we soon realized that more or less arbitrary restrictions are necessary, because interesting groups are so numerous. For permutation groups of degree 8 or less (i. e., subgroups of e ), the reader cannot do better than consult the 8 tables of JosEPHINE BuRNS (1915), while keeping an eye open for misprints. Our own tables (on pages 134-143) deal with groups of low order, finiteandinfinite groups of congruent transformations, symmetric and alternating groups, linear fractional groups, and groups generated by reflections in real Euclidean space of any number of dimensions. The best substitute foramoreextensive catalogue is the description (in Chapter 2) of a method whereby the reader can easily work out his own abstract definition for almost any given finite group. This method is sufficiently mechanical for the use of an electronic computer. There is also a topological method (Chapter 3), suitable not only for groups of low order but also for some infinite groups. This involves choosing a set of generators, constructing a certain graph (the Cayley diagram or DEHNsehe Gruppenbild), and embedding the graph into a surface. Cases in which the surface is a sphere or a plane are described in Chapter 4, where we obtain algebraically, and verify topologically, an abstract definition for each of the 17 space groups of two-dimensional crystallography.