Lie Algebras

نظریه گروه دروغ، که توسط M. Sophus Lie در قرن نوزدهم توسعه یافت، در ردیف پیشرفت‌های مهم‌تر در ریاضیات مدرن قرار می‌گیرد. جبرهای دروغ بخش قابل توجهی از نظریه گروه دروغ را تشکیل می دهند و امروزه به طور فعال مورد مطالعه قرار می گیرند. این کتاب توسط پروفسور ناتان جاکوبسون از دانشگاه ییل، درمان قطعی موضوع است و می تواند به عنوان متنی برای دوره های تحصیلات تکمیلی مورد استفاده قرار گیرد.
فصل 1 مفاهیم اساسی را معرفی می کند که برای درک نظریه ساختار ضروری است، در حالی که سه مورد زیر را معرفی می کند. فصل‌ها خود نظریه را ارائه می‌کنند: جبرهای دروغ قابل حل و غیرقابل حل، معیار کارتان و پیامدهای آن، و جبرهای دروغ نیمه ساده تقسیم‌شده. فصل 5، در مورد جبرهای پوششی جهانی، مفاهیم انتزاعی زیربنای نظریه بازنمایی را ارائه می دهد. نتایج اساسی در مورد نظریه بازنمایی در سه فصل بعدی آورده شده است: قضیه Ado-Iwasawa، طبقه‌بندی ماژول‌های تقلیل‌ناپذیر، و کاراکترهای ماژول‌های تقلیل‌ناپذیر. در فصل 9 خودمورفیسم جبرهای دروغ نیمه ساده بر روی یک میدان بسته جبری با مشخصه صفر تعیین می شود. این نتایج در فصل 10 به مسائل مربوط به مرتب سازی جبرهای دروغ ساده در یک میدان دلخواه اعمال می شود. خواننده برای بهره مندی کامل از این فصل دهم، باید اطلاعاتی در مورد مفاهیم نظریه گالوا و برخی از نتایج نظریه ساختار ودربرن جبرهای انجمنی داشته باشد.
ناتان جاکوبسون، در حال حاضر هنری فورد دوم استاد ریاضیات در ییل دانشگاه، یک مرجع شناخته شده در زمینه جبر انتزاعی است. کتاب او، جبرهای دروغ، یک کتاب راهنمای کلاسیک برای محققان و دانشجویان است. اگرچه دانش جبر خطی را پیش‌فرض می‌گیرد، اما بیش از حد نظری نیست و می‌تواند به راحتی برای مطالعه خود مورد استفاده قرار گیرد.

Lie group theory, developed by M. Sophus Lie in the nineteenth century, ranks among the more important developments in modern mathematics. Lie algebras comprise a significant part of Lie group theory and are being actively studied today. This book, by Professor Nathan Jacobson of Yale, is the definitive treatment of the subject and can be used as a text for graduate courses.
Chapter 1 introduces basic concepts that are necessary for an understanding of structure theory, while the following three chapters present the theory itself: solvable and nilpotent Lie algebras, Cartan’s criterion and its consequences, and split semi-simple Lie algebras. Chapter 5, on universal enveloping algebras, provides the abstract concepts underlying representation theory. The basic results on representation theory are given in three succeeding chapters: the theorem of Ado-Iwasawa, classification of irreducible modules, and characters of the irreducible modules. In Chapter 9 the automorphisms of semi-simple Lie algebras over an algebraically closed field of characteristic zero are determined. These results are applied in Chapter 10 to the problems of sorting out the simple Lie algebras over an arbitrary field. The reader, to fully benefit from this tenth chapter, should have some knowledge about the notions of Galois theory and some of the results of the Wedderburn structure theory of associative algebras.
Nathan Jacobson, presently Henry Ford II Professor of Mathematics at Yale University, is a well-known authority in the field of abstract algebra. His book, Lie Algebras, is a classic handbook both for researchers and students. Though it presupposes knowledge of linear algebra, it is not overly theoretical and can be readily used for self-study.