Les contre-exemples en mathématiques : 522 contre-exemples

Préface......Page 8
Notations......Page 11
Bibliographie......Page 13
Table des matières......Page 14
Logique des prédicats du premier ordre......Page 18
Paradoxes de la théorie « naïve » des ensembles......Page 19
Image directe et image réciproque d'une partie......Page 20
Ensembles équipotents......Page 21
Relations binaires fondamentales......Page 25
Ensembles ordonnés......Page 26
Treillis......Page 28
Bon ordre et axiome du choix......Page 31
Arithmétique......Page 32
Lois de composition interne......Page 34
Axiomes de la structure de groupe......Page 36
Centre d'un groupe......Page 38
Sous-groupes......Page 39
Ordre d'un élément dans un groupe......Page 42
Morphismes et isomorphismes de groupes......Page 45
Groupes simples et groupes résolubles......Page 47
Chapitre 3 Anneaux et corps......Page 50
Propriétés générales......Page 51
Eléments inversibles et diviseurs de zéro......Page 52
Anneau des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif......Page 54
Caractéristique d'un anneau non nul......Page 59
Idéaux d'un anneau non nul......Page 60
Divisibilité dans un anneau intègre......Page 64
Autres types d'anneaux......Page 68
Corps......Page 73
Corps ordonnés......Page 74
Chapitre 4 Espaces vectoriels......Page 77
Nécessité des axiomes......Page 78
Sous-espaces vectoriels......Page 79
Endomorphismes d'un espace vectoriel......Page 81
Valeurs propres et vecteurs propres, polynôme caractéristique et polynôme minimal......Page 84
Matrices......Page 90
Modules......Page 93
Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques......Page 96
Ecriture décimale des nombres réels......Page 100
Différents ensembles de nombres réels......Page 101
Ordre canonique de R......Page 104
Topologie de R......Page 105
Distance d'un point à une partie et distance entre deux parties......Page 110
Endomorphismes du groupe additif (R, +) de E......Page 111
Mesurabilité de parties de R......Page 113
Convergence et divergence......Page 117
Convergence au sens de Cesàro......Page 121
Limite supérieure et limite inférieure......Page 122
Valeurs d'adhérence......Page 124
Convergence et convergence absolue......Page 127
Mise en défaut de certains critères de convergence......Page 131
Séries à termes positifs......Page 134
Règles de convergence......Page 135
Modification de l'ordre des termes......Page 139
Séries doubles et produit de Cauchy......Page 141
Equivalence des suites des sommes partielles et équivalence des suites des restes......Page 144
Autres types de convergence......Page 146
Continuité......Page 150
Théorème des valeurs intermédiaires......Page 154
Limites......Page 157
Continuité uniforme, continuité absolue et fonctions lipschitziennes......Page 160
Continuité de l'application réciproque d'une fonction continue......Page 166
Continuité et topologie......Page 168
Dérivabilité locale et globale......Page 172
Discontinuité de la fonction dérivée......Page 182
Sens de variation d'une fonction dérivable......Page 186
Dérivées et limites......Page 189
Dérivées et extremums......Page 192
Fonctions indéfiniment dérivables......Page 193
Développements limités......Page 195
Dérivées supérieures et inférieures......Page 198
Equations différentielles......Page 200
Monotonie et continuité......Page 207
Fonctions périodiques......Page 213
Fonctions convexes......Page 214
Fonctions bornées......Page 218
Fonctions à variation bornée......Page 219
Intégrale de Riemann......Page 224
Convergence des intégrales......Page 230
Primitives et intégrales......Page 236
Intégrales dépendant d'un paramètre......Page 240
Sommes de Riemann......Page 243
Intégration des relations de comparaison......Page 245
Convergence simple......Page 248
Convergence uniforme......Page 252
Dérivation......Page 257
Intégration......Page 260
Convergence en moyenne......Page 262
Différents types de convergence......Page 267
Discontinuité de la somme d'une série de fonctions......Page 273
Interversions de sommations et de limites......Page 275
Séries entières......Page 277
Série de Taylor......Page 279
Séries de Fourier......Page 281
Chapitre 14 Fonctions de plusieurs variables......Page 285
Continuité......Page 286
Différentiabilité......Page 287
Théorèmes d'inversion......Page 294
Dérivées partielles secondes......Page 296
Extremums......Page 298
Intégration......Page 299
Chapitre 15 Topologie générale......Page 305
Séparation......Page 306
Suites convergentes, limites de suites, continuité......Page 308
Connexité......Page 312
Compacité......Page 318
Chapitre 16 Espaces métriques......Page 322
Boules......Page 323
Equivalences de distances......Page 327
Complétude......Page 329
Distance d'un point à une partie et distance entre deux parties......Page 332
Chapitre 17 Espaces vectoriels normés......Page 334
Nécessité des axiomes......Page 335
Somme de deux parties......Page 337
Comparaison des normes......Page 338
Continuité des applications linéaires......Page 339
Parties compactes et parties fermées et bornées......Page 342
Parties convexes d'un espace vectoriel normé......Page 344
Points internes à une partie......Page 346
Isométries......Page 347
Espaces vectoriels euclidiens et hilbertiens......Page 349
Chapitre 18 Courbes planes......Page 355
Tangentes et points d'inflexion......Page 356
Directions asymptotiques et asymptotes......Page 361
Longueur d'une courbe......Page 364
Courbes remarquables......Page 367
Chapitre 19 Probabilités......Page 372
Evénements indépendants......Page 373
Espérance mathématique et variance......Page 374
Convergence des suites de variables aléatoires......Page 377