Lectures on Seiberg-Witten Invariants

هندسه ریمانی، سمپلکتیک و پیچیده اغلب با استفاده از راه حل های سیستم های معادلات دیفرانسیل غیرخطی، مانند معادلات ژئودزیک ها، سطوح حداقل، منحنی های شبه رنگ مورفیک و اتصالات یانگ میلز مورد مطالعه قرار می گیرند. برای مطالعه چنین معادلاتی، یک فناوری یکپارچه جدید توسعه داده شده است که شامل تجزیه و تحلیل بر روی منیفولدهای بینهایت بعدی است. یکی از کاربردهای قابل توجه فناوری جدید، نظریه دونالدسون در مورد اتصالات "ضد خود دوگانه" در بسته های SU(2) بر روی چهار منیفولد است که معادلات یانگ-میلز از فیزیک ریاضی را برای روشن کردن رابطه بین طبقه بندی چهار منیفولدهای توپولوژیکی و صاف این امر جهت مورد انتظار کاربرد را از توپولوژی به معادلات دیفرانسیل به فیزیک ریاضی معکوس می کند. حتی اگر معادلات یانگ-میلز فقط غیرخطی خفیف هستند، مقدار زیادی تحلیل غیرخطی برای درک کامل ویژگی‌های فضای راه‌حل‌ها ضروری است. . در وضعیت دانش کنونی ما، به نظر می رسد درک ساختارهای صاف در چهار منیفولد توپولوژیکی در مقایسه با PDE های خطی نیاز به غیرخطی دارد. بنابراین بسیار شگفت‌آور است که مجموعه‌ای از PDE وجود دارد که حتی کمتر از معادله یانگ میلز غیرخطی هستند، اما می‌توانند بسیاری از مهم‌ترین نتایج را از نظریه دونالدسون به دست آورند. اینها معادلات سیبرگ ویت هستند. این یادداشت‌های سخنرانی از یک دوره تحصیلات تکمیلی در دانشگاه کالیفرنیا در سانتا باربارا در سه ماهه بهار 1995 نشأت می‌گیرد. هدف این بود که رویکرد سایبرگ-ویتن به نظریه دونالدسون را برای دانشجویان سال دوم تحصیلات تکمیلی که قبلاً دروس پایه را گذرانده بودند، در دسترس قرار دهد. در هندسه دیفرانسیل و توپولوژی جبری.

Riemannian, symplectic and complex geometry are often studied by means ofsolutions to systems ofnonlinear differential equations, such as the equa­ tions of geodesics, minimal surfaces, pseudoholomorphic curves and Yang­ Mills connections. For studying such equations, a new unified technology has been developed, involving analysis on infinite-dimensional manifolds. A striking applications of the new technology is Donaldson's theory of "anti-self-dual" connections on SU(2)-bundles over four-manifolds, which applies the Yang-Mills equations from mathematical physics to shed light on the relationship between the classification of topological and smooth four-manifolds. This reverses the expected direction of application from topology to differential equations to mathematical physics. Even though the Yang-Mills equations are only mildly nonlinear, a prodigious amount of nonlinear analysis is necessary to fully understand the properties of the space of solutions. . At our present state of knowledge, understanding smooth structures on topological four-manifolds seems to require nonlinear as opposed to linear PDE's. It is therefore quite surprising that there is a set of PDE's which are even less nonlinear than the Yang-Mills equation, but can yield many of the most important results from Donaldson's theory. These are the Seiberg-Witte~ equations. These lecture notes stem from a graduate course given at the University of California in Santa Barbara during the spring quarter of 1995. The objective was to make the Seiberg-Witten approach to Donaldson theory accessible to second-year graduate students who had already taken basic courses in differential geometry and algebraic topology.