Lectures on Random Interfaces

اینترفیس ها برای جدا کردن دو فاز مجزا در موقعیتی ایجاد می شوند که در آن همزیستی فاز اتفاق می افتد. این کتاب رابط‌های نوسان تصادفی را در چندین تنظیمات مختلف و از چندین دیدگاه مورد بحث قرار می‌دهد: نظریه‌های گسسته/پیوسته، میکروسکوپی/ماکروسکوپی و استاتیک/دینامیک. با فرض اینکه رابط به عنوان یک تابع ارتفاع اندازه گیری شده از یک ابر صفحه گسسته مرجع ثابت نشان داده شده است، سیستم توسط شیب همیلتونی توابع ارتفاع اداره می شود. این یک نوع مدل رابط موثر است که مدل ∇φ-interface نامیده می شود. محدودیت‌های مقیاس‌بندی برای میدان‌های تصادفی گاوسی (یا غیر گاوسی) با اثر سنجاق تحت شرایطی که در آن تابع نرخ اصل انحراف بزرگ مربوطه دارای حداقل‌کننده‌های غیر منحصر به فرد است، مورد مطالعه قرار می‌گیرد. نمودارهای جوان رابط‌های کاهشی را تعیین می‌کنند و دینامیک آنها معرفی می‌شوند. . رفتار مقیاس بزرگ چنین دینامیکی از دیدگاه حد هیدرودینامیکی و تئوری نوسانات غیرتعادلی مورد مطالعه قرار گرفته است. منحنی‌های Vershik در آن حد مشتق شده‌اند. یک حد واسط تیز برای معادله آلن-کان، یعنی یک معادله واکنش- انتشار با عبارت واکنش دوپایدار، منجر به یک جریان انحنای متوسط ​​برای رابط‌ها می‌شود. اغتشاش تصادفی آن، که گاهی اوقات مدل گینزبورگ-لاندو وابسته به زمان، کوانتیزاسیون تصادفی، یا مدل P(φ) دینامیکی نامیده می شود، در نظر گرفته می شود. مقدمه‌ای مختصر بر حرکات براونی، مارتینگال‌ها و انتگرال‌های تصادفی در یک تنظیم ابعادی بی‌نهایت ارائه شده است. ویژگی منظم راه حل های PDE های تصادفی (SPDE) از نوع سهموی با نویزهای افزایشی نیز مورد بحث قرار می گیرد. معادله کاردار-پاریسی-ژانگ (KPZ)، که یک رابط رو به رشد با نوسان را توصیف می کند، اخیرا توجه زیادی را به خود جلب کرده است. این یک SPDE نامناسب است و نیاز به عادی سازی مجدد دارد. به خصوص اقدامات ثابت آن مورد مطالعه قرار می گیرد.

Interfaces are created to separate two distinct phases in a situation in which phase coexistence occurs. This book discusses randomly fluctuating interfaces in several different settings and from several points of view: discrete/continuum, microscopic/macroscopic, and static/dynamic theories. The following four topics in particular are dealt with in the book.Assuming that the interface is represented as a height function measured from a fixed-reference discretized hyperplane, the system is governed by the Hamiltonian of gradient of the height functions. This is a kind of effective interface model called ∇φ-interface model. The scaling limits are studied for Gaussian (or non-Gaussian) random fields with a pinning effect under a situation in which the rate functional of the corresponding large deviation principle has non-unique minimizers.Young diagrams determine decreasing interfaces, and their dynamics are introduced. The large-scale behavior of such dynamics is studied from the points of view of the hydrodynamic limit and non-equilibrium fluctuation theory. Vershik curves are derived in that limit.A sharp interface limit for the Allen–Cahn equation, that is, a reaction–diffusion equation with bistable reaction term, leads to a mean curvature flow for the interfaces. Its stochastic perturbation, sometimes called a time-dependent Ginzburg–Landau model, stochastic quantization, or dynamic P(φ)-model, is considered. Brief introductions to Brownian motions, martingales, and stochastic integrals are given in an infinite dimensional setting. The regularity property of solutions of stochastic PDEs (SPDEs) of a parabolic type with additive noises is also discussed.The Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) equation , which describes a growing interface with fluctuation, recently has attracted much attention. This is an ill-posed SPDE and requires a renormalization. Especially its invariant measures are studied.