Lectures on Functional Analysis and the Lebesgue Integral

این کتاب درسی، بر اساس سه سری سخنرانی که توسط نویسنده در دانشگاه استراسبورگ برگزار شده است، با تعمیم قضایای ابتدایی هندسه صفحه به فضاهایی با ابعاد دلخواه، تحلیل عملکردی را به روشی غیر سنتی ارائه می‌کند. این رویکرد به طور طبیعی به مفاهیم و قضایای اساسی منتهی می شود. بیشتر نتایج با فضاهای کوچک ℓ^p نشان داده می شوند. در همین حال، انتگرال Lebesgue از طریق رویکرد مستقیم Frigyes Riesz مورد بررسی قرار می گیرد، که تعریف سازنده توابع قابل اندازه گیری منجر به نسخه های بهینه و واضح قضایای کلاسیک Fubini-Tonelli و Radon-Nikodým می شود.

سخنرانی در مورد تجزیه و تحلیل تابعی و انتگرال Lebesgue مهمترین موضوعات را با براهین کوتاه و ظریف برای دانش آموزان ارائه می دهد. سبک نمایش از سنت ریاضی مجارستانی پل اردوس و دیگران پیروی می کند. ترتیب دو بخش اول، تحلیل عملکردی و انتگرال Lebesgue، ممکن است معکوس شود. در بخش سوم و آخر آنها برای مطالعه فضاهای مختلف توابع پیوسته و یکپارچه با هم ترکیب می شوند. چندین قضیه کلاسیک زیبا، اما تقریباً فراموش شده نیز گنجانده شده است.

این کتاب درسی برای دانشجویان مقطع کارشناسی و کارشناسی ارشد در ریاضیات محض و کاربردی، فیزیک و مهندسی مفید است. فقط مفاهیم و نتایج توپولوژیکی اولیه استفاده می شود و مثال ها و تمرین های مختلف ساده اما مرتبط سودمندی و بهینه بودن بیشتر قضایا را نشان می دهد. بسیاری از این نمونه‌ها در ادبیات بومی‌سازی جدید یا دشوار هستند و منابع اصلی بیشتر مفاهیم و نتایج برای کمک به خواننده در درک پیدایش و توسعه این رشته نشان داده شده است.

This textbook, based on three series of lectures held by the author at the University of Strasbourg, presents functional analysis in a non-traditional way by generalizing elementary theorems of plane geometry to spaces of arbitrary dimension. This approach leads naturally to the basic notions and theorems. Most results are illustrated by the small ℓ^p spaces. The Lebesgue integral, meanwhile, is treated via the direct approach of Frigyes Riesz, whose constructive definition of measurable functions leads to optimal, clear-cut versions of the classical theorems of Fubini-Tonelli and Radon-Nikodým.

Lectures on Functional Analysis and the Lebesgue Integral presents the most important topics for students, with short, elegant proofs. The exposition style follows the Hungarian mathematical tradition of Paul Erdős and others. The order of the first two parts, functional analysis and the Lebesgue integral, may be reversed. In the third and final part they are combined to study various spaces of continuous and integrable functions. Several beautiful, but almost forgotten, classical theorems are also included.

Both undergraduate and graduate students in pure and applied mathematics, physics and engineering will find this textbook useful. Only basic topological notions and results are used and various simple but pertinent examples and exercises illustrate the usefulness and optimality of most theorems. Many of these examples are new or difficult to localize in the literature, and the original sources of most notions and results are indicated to help the reader understand the genesis and development of the field.