Lectures on Closed Geodesics

مسأله وجود ژئودزیک‌های c10sed در منیفولد ریمانی و ویژگی‌های مدارهای تناوبی متناظر در جریان ژئودزیکی از آغاز ژئومتری دیفرانسیل جهانی در طول قرن گذشته موضوع تحقیقات فشرده بوده است. ساده ترین حالت برای سطوح c10sed با انحنای منفی رخ می دهد. در اینجا، گروه بنیادی بسیار بزرگ است و همانطور که هادامارد [Had] در سال 1898 نشان داد، هر منحنی c10sed همتوپی غیر تهی را می توان به یک منحنی c10sed با حداقل طول در هموتوپی آزاد c1ass تغییر شکل داد. این منحنی حداقل، تا اندازه پارامتر، به طور منحصر به فرد تعیین می شود و یک ژئودزیک c10sed را نشان می دهد. مسئله وجود یک ژئودزیک c10sed بر روی یک سطح c10sed به سادگی متصل بسیار دشوارتر است. همانطور که توسط پوانکر [po 1] در سال 1905 اشاره شد، این مشکل با مشکل وجود مدارهای تناوبی در مسئله سه جسم محدود اشتراکات زیادی دارد. پوانکر [l.c.] اثباتی را بیان کرد که بر روی یک سطح محدب تحلیلی که تفاوت زیادی با کره استاندارد ندارد، همیشه حداقل یک ژئودزیک c10s از نوع بیضوی وجود دارد. e.، مدار تناوبی مرتبط در جریان ژئودزیکی بی نهایت پایدار است.

The question of existence of c10sed geodesics on a Riemannian manifold and the properties of the corresponding periodic orbits in the geodesic flow has been the object of intensive investigations since the beginning of global differential geo­ metry during the last century. The simplest case occurs for c10sed surfaces of negative curvature. Here, the fundamental group is very large and, as shown by Hadamard [Had] in 1898, every non-null homotopic c10sed curve can be deformed into a c10sed curve having minimallength in its free homotopy c1ass. This minimal curve is, up to the parameterization, uniquely determined and represents a c10sed geodesic. The question of existence of a c10sed geodesic on a simply connected c10sed surface is much more difficult. As pointed out by Poincare [po 1] in 1905, this problem has much in common with the problem ofthe existence of periodic orbits in the restricted three body problem. Poincare [l.c.] outlined a proof that on an analytic convex surface which does not differ too much from the standard sphere there always exists at least one c10sed geodesic of elliptic type, i. e., the corres­ ponding periodic orbit in the geodesic flow is infinitesimally stable.