Laplacian eigenvectors of graphs: Perron-Frobenius and Faber-Krahn type theorems

بردارهای ویژه گراف لاپلاسیان تا به امروز موضوع مقاله های توضیحی نبوده اند و بنابراین ممکن است موضوعی شگفت انگیز برای یک کتاب به نظر برسند. نویسندگان دو انگیزه برای این حجم جدید LNM پیشنهاد می‌کنند: (1) تفاوت‌های ظریف شگفت‌انگیزی بین خواص راه‌حل‌های معادلات شرودینگر در منیفولدها از یک طرف، و آنالوگ‌های گسسته آنها در نمودارها وجود دارد. (2) ویژگی‌های \"هندسی\" توابع (هزینه) تعریف شده روی مجموعه‌های رأس نمودارها برای الگوریتم‌های بهینه‌سازی اکتشافی مورد توجه عملی هستند. مشاهده این که توابع هزینه تعدادی از مسائل بهینه سازی ترکیبی که به خوبی مطالعه شده اند، بردارهای ویژه گراف لاپلاسیان مرتبط هستند، بررسی چنین بردارهای ویژه ای را برانگیخته است. تعداد نمودارهای علامت آنها (\"دامنه های گرهی\")، مولفه های پرون، نمودارهایی با ویژگی های فوق العاده با توجه به بردارهای ویژه. ضریب ریلی و بازآرایی نمودارها روش شناسی اصلی را تشکیل می دهند.

Eigenvectors of graph Laplacians have not, to date, been the subject of expository articles and thus they may seem a surprising topic for a book. The authors propose two motivations for this new LNM volume: (1) There are fascinating subtle differences between the properties of solutions of Schrödinger equations on manifolds on the one hand, and their discrete analogs on graphs. (2) "Geometric" properties of (cost) functions defined on the vertex sets of graphs are of practical interest for heuristic optimization algorithms. The observation that the cost functions of quite a few of the well-studied combinatorial optimization problems are eigenvectors of associated graph Laplacians has prompted the investigation of such eigenvectors.

The volume investigates the structure of eigenvectors and looks at the number of their sign graphs ("nodal domains"), Perron components, graphs with extremal properties with respect to eigenvectors. The Rayleigh quotient and rearrangement of graphs form the main methodology.