L-Functions and the Oscillator Representation

این یادداشت‌ها به نشان دادن رابطه بین توابع L گروه‌های کلاسیک (به ویژه *F1) و توابع *F2 ناشی از نمایش نوسانگر جفت تقلیل دوگانه *F1 *F3 O(Q) مربوط می‌شوند. مشکل اندازه گیری ناپدید شدن یک *F2 مطابق با محاسبه حاصلضرب داخلی پترسون یک بالابر *F2 از *F1 به O(Q) در نظر گرفته شده است. این محصول را می توان به عنوان مقدار ویژه یک تابع L (مرتبط با نمایش استاندارد گروه L *F1) ضربدر تعداد محدودی از فاکتورهای محلی اویلر (اندازه گیری اینکه آیا یک نمایش محلی معین در یک نمایش نوسانگر داده شده رخ می دهد یا خیر) بیان کرد. ). ایده‌های کلیدی مورد استفاده در اثبات این امر عبارتند از: (i) نمایش‌های انتگرال رنکین جدید توابع L استاندارد، (ب) جفت‌های تقلیل دوگانه see-saw و (iii) فرمول Siegel-Weil. این کتاب به خوانندگانی می‌پردازد که در تئوری اشکال خودکار و توابع L و نظریه بازنمایی گروه‌های دروغ تخصص دارند. N

These notes are concerned with showing the relation between L-functions of classical groups (*F1 in particular) and *F2 functions arising from the oscillator representation of the dual reductive pair *F1 *F3 O(Q). The problem of measuring the nonvanishing of a *F2 correspondence by computing the Petersson inner product of a *F2 lift from *F1 to O(Q) is considered. This product can be expressed as the special value of an L-function (associated to the standard representation of the L-group of *F1) times a finite number of local Euler factors (measuring whether a given local representation occurs in a given oscillator representation). The key ideas used in proving this are (i) new Rankin integral representations of standard L-functions, (ii) see-saw dual reductive pairs and (iii) Siegel-Weil formula. The book addresses readers who specialize in the theory of automorphic forms and L-functions and the representation theory of Lie groups. N