Kuranishi Structures and Virtual Fundamental Chains

بسته منحنی‌های شبه هولومورف گروموف یک ابزار اصلی در هندسه سمپلتیک جهانی و کاربردهای آن، از جمله تقارن آینه‌ای و دینامیک همیلتونی است. ساختار کورانیشی توسط دو تن از نویسندگان جلد حاضر در اواسط دهه 1990 برای اعمال این ماشین بر روی منیفولدهای سمپلتیک عمومی بدون در نظر گرفتن محدودیت خاصی معرفی شد. نویسندگان این کتاب در مونوگراف نظریه گل تقاطع لاگرانژی و در بسیاری از انتشارات دیگر آنها و دیگران این موضوع را بیشتر تقویت کردند. در پاسخ به تقاضای عمومی، نویسندگان اکنون کتاب فعلی را ارائه می‌کنند که در آن توضیحی مفصل و مستقل از نظریه سازه‌های کورانیشی ارائه می‌دهند.
قسمت اول نظریه را در مورد یک فضای واحد مجهز به ساختار کورانیشی، به نام K، مورد بحث قرار می‌دهد. -space، و بسته اساسی مربوط به آن. ابتدا، تعریف فضای K و نقشه های منیفولد استاندارد ارائه شده است. تعاریفی برای محصولات فیبر، اشکال دیفرانسیل، تقسیمات وحدت و مفهوم اختلالات CF در فضای K ارائه شده است. سپس با استفاده از اغتشاشات CF، نویسندگان ادغام در فضای K و فشار به جلو اشکال دیفرانسیل را تعریف کرده و فرمول استوکس و قضیه فوبینی را در این چارچوب تعمیم می دهند. همچنین، «کلاس بنیادی مجازی» تعریف می‌شود و تغییر ناپذیری همبستگی آن ثابت می‌شود.
بخش دوم، سیستم (سازگار) فضاهای K و فرآیند رفتن از «هندسه» به «جبر همسانی» را مورد بحث قرار می‌دهد. توضیحات کاملی از گسترش اغتشاشات داده شده در مرز به داخل ارائه شده است. همچنین فرآیند در نظر گرفتن "محدودیت هموتوپی" مورد نیاز برای مدیریت سیستمی با تعداد بی نهایت فضاهای مدول توضیح داده شده است. با در نظر گرفتن کاربرد آتی این ساختارهای سطح زنجیره ای فراتر از آنچه قبلاً شناخته شده است، یک رویکرد بدیهی با فهرست کردن ویژگی های سیستم فضاهای مدول مربوطه اتخاذ می شود و سپس یک گزارش مستقل از ساخت ساختارهای جبری مرتبط ارائه می شود. . این رویکرد بدیهی باعث می شود که نمایشگاه موجود در اینجا مستقل از ساخت و سازهای قبلی منتشر شده از ساختارهای مربوطه باشد.

The package of Gromov’s pseudo-holomorphic curves is a major tool in global symplectic geometry and its applications, including mirror symmetry and Hamiltonian dynamics. The Kuranishi structure was introduced by two of the authors of the present volume in the mid-1990s to apply this machinery on general symplectic manifolds without assuming any specific restrictions. It was further amplified by this book’s authors in their monograph Lagrangian Intersection Floer Theory and in many other publications of theirs and others. Answering popular demand, the authors now present the current book, in which they provide a detailed, self-contained explanation of the theory of Kuranishi structures.
Part I discusses the theory on a single space equipped with Kuranishi structure, called a K-space, and its relevant basic package. First, the definition of a K-space and maps to the standard manifold are provided. Definitions are given for fiber products, differential forms, partitions of unity, and the notion of CF-perturbations on the K-space. Then, using CF-perturbations, the authors define the integration on K-space and the push-forward of differential forms, and generalize Stokes' formula and Fubini's theorem in this framework. Also, “virtual fundamental class” is defined, and its cobordism invariance is proved.
Part II discusses the (compatible) system of K-spaces and the process of going from “geometry” to “homological algebra”. Thorough explanations of the extension of given perturbations on the boundary to the interior are presented. Also explained is the process of taking the “homotopy limit” needed to handle a system of infinitely many moduli spaces. Having in mind the future application of these chain level constructions beyond those already known, an axiomatic approach is taken by listing the properties of the system of the relevant moduli spaces and then a self-contained account of the construction of the associated algebraic structures is given. This axiomatic approach makes the exposition contained here independent of previously published construction of relevant structures.