Konvexe Analysis

نویسنده قصد دارد با این کتاب درسی مقدمه ای کامل با نظریه مجموعه های محدب و توابع محدب ارائه دهد. این کتاب از مجموعه ای از سه سخنرانی که بین سال های 1971 و 1973 در موسسه فناوری فدرال سوئیس در زوریخ برگزار شد، پدید آمد. این جنبه های مختلف تحدب مربوط به بسیاری از شاخه های تحلیل، ریاضیات کاربردی و اقتصاد ریاضی را توضیح می دهد. آنالیز محدب مانند جبر خطی، حوزه ای از ریاضیات است که علاوه بر قابل توصیف و اثبات تحلیلی، اغلب از وضوح هندسی بالایی نیز برخوردار است. تقریباً اکثر نتایج در مورد مجموعه ها و توابع محدب که در اینجا توضیح داده شده است، به وضوح متعلق به ریاضیات محض است. اما قابل توجه است که چگونه اغلب این نتایج نه تنها اساس بخش های تجزیه و تحلیل عالی، بلکه همچنین نظریه ها و روش های ریاضیات کاربردی را تشکیل می دهند. بنابراین در این کتاب درسی بر نشان دادن چگونگی اعمال نتایج در خارج از حوزه، به عنوان مثال، تأکید شده است. ب. در ریاضیات محض برای قضایای وجودی برای معادلات دیفرانسیل یا انتگرال خطی و غیرخطی، در ریاضیات کاربردی برای نظریه تقریب یا در اقتصاد ریاضی برای گزاره های وجودی در مورد حداقل توابع محدب و در مورد راه حل های سیستم های نابرابری. برای اینکه از اعتبار کلی بسیاری از نتایج بنیادی کاسته نشود، دقت شد که پیش نیازهای مربوط به توپولوژی و ساختار فضاها تا حد امکان ضعیف باشد.

Der Autor beabsichtigt, mit dem vorliegenden Lehrbuch eine gründliche Einführung in die Theorie der konvexen Mengen und der konvexen Funk­ tionen zu geben. Das Buch ist aus einer Folge von drei in den Jahren 1971 bis 1973 an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich gehaltenen Vorlesungen hervorgegangen. Es erläutert die verschiedenen, für viele Sparten der Analysis, der angewandten Mathematik und der mathematischen Ökonomie relevanten Aspekte der Konvexität. Die konvexe Analysis ist, wie die lineare Algebra, ein Gebiet der Mathematik, welches neben der analytischen Beschreib- und Beweisbarkeit oft auch eine hohe geometrische Anschaulichkeit besitzt. Fast die meisten der hier be­ schriebenen Ergebnisse über konvexe Mengen und Funktionen gehören offen­ sichtlich der reinen Mathematik an. Es ist aber auffallend, wie häufig diese Ergebnisse die Gundiage, nicht nur von Teilen der höheren Analysis, sondern auch von Theorien und Methoden der angewandten Mathematik bilden. Einiges Gewicht wird deshalb in diesem Lehrbuch darauf gelegt, zu zeigen, wie die Resultate ausserhalb des Gebietes Anwendung finden, z. B. in der reinen Mathematik bei Existenzsätzen für lineare und nichtlineare Differential-oder Integralgleichungen, in der angewandten Mathematik für die Approximations­ theorie oder in der mathematischen Ökonomie für Existenzaussagen über Minima konvexer Funktionen und über Lösungen von Systemen von Ungleichungen. Um die Allgemeingültigkeit vieler fundamentaler Resultate nicht zu schmälern, wurde darauf geachtet, die entsprechenden Voraus­ setzungen an die Topologie und Strukturen der Räume so schwach wie möglich zu halten.