Komplexe Zahlen und ebene Geometrie

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Inhaltsverzeichnis......Page 10
1.1 Von den natürlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen......Page 14
1.2 Die komplexen Zahlen......Page 19
1.3 Rechnen im Körper ( C,+, · )......Page 23
1.5 Die Betragsfunktion in C......Page 25
1.6 Punktmengen in der Gaußschen Zahlenebene......Page 28
1.7 Polarkoordinatendarstellung......Page 35
1.8 Die Formeln von Moivre und Euler......Page 39
1.9 Anwendungen in der Physik: Bewegungen eines Punktes in der Ebene......Page 44
1.10 Spiralen......Page 50
1.11 Komplexe Zahlen und Fraktale......Page 54
2.1 Die Menge der ganzen Gaußschen Zahlen......Page 60
2.2 Norm und Einheiten......Page 61
2.3 Die Gaußschen Primzahlen......Page 62
2.4 Division mit Rest im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen......Page 65
2.5 Primfaktorzerlegung in G......Page 67
3.1 Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen......Page 70
3.2 Allgemeine Wurzeln......Page 75
3.3 Einheitswurzeln: n-te Wurzeln aus der Zahl 1......Page 77
Aufgaben......Page 81
3.4 Kubische Gleichungen......Page 83
3.5 Ausblick......Page 95
3.6 Lösungen der Gleichung 4. Grades......Page 96
4.1 Die Problemstellung......Page 100
4.2 Der Fundamentalsatz der Algebra......Page 101
4.3 Die Bedeutung des Fundamentalsatzes......Page 108
5.1 Einleitung......Page 112
5.2 Stereografische Projektion......Page 113
5.3 Eigenschaften der stereografischen Projektion......Page 114
5.4 Darstellung einer Funktion auf der Riemannschen Zahlenkugel – ein Beispiel......Page 119
6.1 Begriffsbildung......Page 120
6.2 Differenzieren von komplexen Funktionen......Page 122
6.3 Konforme Abbildungen......Page 125
7 Gebrochen lineare Funktionen......Page 130
7.1 Ganze lineare Funktionen......Page 131
7.2 Die Inversion......Page 134
7.3 Spiegelung am Kreis und hyperbolische Fraktal-Ornamente......Page 140
7.4 Kurvenverwandtschaft bei der Inversion y = 1/ z......Page 142
7.5 Gebrochen lineare Funktionen: Möbiustransformationen......Page 145
7.6 Das Doppelverhältnis......Page 151
7.7 Normalform der Möbiustransformation mit zwei Fixpunkten......Page 152
8 Die Jukowski-Funktion und die Funktion w = z2......Page 160
9 Komplexe Zahlen und Konforme Abbildungen mit MAPLE......Page 166
Lösungen zu den Aufgaben:......Page 176
Literatur:......Page 186
Index......Page 188