Jaenich - Vektoranalysis

Vektoranalysis (2005 - 5. Auflage)......Page 1
ISBN: 3540237410......Page 4
Vorwort zur ersten Auflage......Page 6
--> Inhaltsverzeichnis......Page 8
1.1 Der Mannigfaltigkeitsbegriff......Page 14
1.2 Differenzierbare Abbildungen......Page 17
1.3 Der Rang......Page 18
1.4 Untermannigfaltigkeiten......Page 20
1.5 Beispiele von Mannigfaltigkeiten......Page 22
1.6 Summen, Produkte und Quotienten von Mannigfaltigkeiten......Page 25
1.7 Genügen uns Untermannigfaltigkeiten euklidischer Räume?......Page 30
1.8 Test......Page 31
1.9 Übungsaufgaben......Page 35
1.10 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 36
2.1 Tangentialräume im euklidischen Raum......Page 39
2.2 Drei Fassungen des Tangentialraumbegriffs......Page 41
2.3 Äquivalenz der drei Fassungen......Page 46
2.4 Definition des Tangentialraums......Page 50
2.5 Das Differential......Page 51
2.6 Die Tangentialräume eines Vektorraums......Page 55
2.7 Geschwindigkeitsvektoren von Kurven......Page 56
2.8 Ein weiterer Blick auf den Ricci-Kalkül......Page 57
2.9 Test......Page 60
2.10 Übungsaufgaben......Page 62
2.11 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 63
3.1 Alternierende k-Formen......Page 65
3.2 Die Komponenten einer alternierenden k-Form......Page 67
3.3 Alternierende n-Formen und die Determinante......Page 69
3.4 Differentialformen......Page 71
3.5 Einsformen......Page 73
3.6 Test......Page 75
3.7 Übungsaufgaben......Page 77
3.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 78
4.1 Einführung......Page 81
4.2 Die beiden Orientierungen eines n-dimensionalen reellen Vektorraums......Page 83
4.3 Orientierte Mannigfaltigkeiten......Page 86
4.4 Konstruktion von Orientierungen......Page 88
4.5 Test......Page 90
4.6 Übungsaufgaben......Page 92
4.7 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 93
5.1 Welches sind die richtigen Integranden?......Page 95
5.2 Die Anschauung vom Integrationsvorgang......Page 99
5.3 Lebesgue-Vorkenntnisse-Paket......Page 101
5.4 Definition der Integration auf Mannigfaltigkeiten......Page 105
5.5 Einige Eigenschaften des Integrals......Page 109
5.6 Test......Page 112
5.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 115
6.1 Vorbemerkung......Page 117
6.2 Differenzierbarkeit im Halbraum......Page 118
6.3 Das Randverhalten der Diffeomorphismen......Page 119
6.4 Der Begriff der berandeten Mannigfaltigkeit......Page 121
6.5 Untermannigfaltigkeiten......Page 122
6.6 Konstruktion berandeter Mannigfaltigkeiten......Page 124
6.7 Tangentialräume am Rande......Page 125
6.8 Die Orientierungskonvention......Page 126
6.9 Test......Page 127
6.11 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 131
7.1 Vergleich der Antworten auf Maschen und Spate......Page 133
7.2 Die Strömungsbilanz einer (n - 1)-Form auf einer n-Masche......Page 134
7.3 Quellstärke und Cartansche Ableitung......Page 137
7.4 Der Satz von Stokes......Page 138
7.5 Der de Rham-Komplex......Page 139
7.6 Simpliziale Komplexe......Page 140
7.7 Das de Rham-Theorem......Page 144
8.1 Das Dachprodukt alternierender Formen......Page 148
8.2 Eine Charakterisierung des Dachprodukts......Page 150
8.3 Der definierende Satz für die Cartansche Ableitung......Page 152
8.4 Beweis für ein Kartengebiet......Page 154
8.5 Beweis für die ganze Mannigfaltigkeit......Page 155
8.6 Die Natürlichkeit der Cartanschen Ableitung......Page 158
8.7 Der de Rham-Komplex......Page 159
8.8 Test......Page 160
8.10 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 163
9.1 Der Satz......Page 165
9.2 Beweis für den Halbraum......Page 166
9.3 Beweis für ein Kartengebiet......Page 168
9.4 Allgemeiner Fall......Page 169
9.5 Zerlegungen der Eins......Page 170
9.6 Integration mittels Zerlegungen der Eins......Page 173
9.7 Test......Page 174
9.8 Übungsaufgaben......Page 177
9.9 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 178
10.1 Einführung......Page 180
10.2 Die Übersetzungsisomorphismen......Page 181
10.3 Gradient, Rotation und Divergenz......Page 184
10.4 Linien- und Flächenelemente......Page 186
10.5 Die klassischen Integralsätze......Page 188
10.6 Die Mittelwerteigenschaft der harmonischen Funktionen......Page 192
10.7 Das Flächenelement in den Koordinaten der Fläche......Page 194
10.8 Das Flächenelement des Graphen einer Funktion von zwei Variablen......Page 198
10.9 Der Integralbegriff der klassischen Vektoranalysis......Page 199
10.10 Test......Page 202
10.11 Übungsaufgaben......Page 204
10.12 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 205
11.1 Definition des de Rham-Funktors......Page 207
11.2 Einige Eigenschaften......Page 209
11.3 Homotopieinvarianz: Aufsuchen der Beweisidee......Page 211
11.4 Durchführung des Beweises......Page 214
11.5 Das Poincare-Lemma......Page 216
11.6 Der Satz vom stetig gekämmten Igel......Page 219
11.7 Test......Page 221
11.9 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 224
12.1 Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten......Page 226
12.2 Skalarprodukt alternierender k-Formen......Page 229
12.3 Der Sternoperator......Page 232
12.4 Die Coableitung......Page 236
12.5 Harmonische Formen und Hodge-Theorem......Page 239
12.6 Die Poincare-Dualität......Page 242
12.7 Test......Page 244
12.8 Übungsaufgaben......Page 246
12.9 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 248
13.1 Sternoperator und Coableitung im dreidimensionalen euklidischen Raum......Page 250
13.2 Formen und duale Formen auf Mannigfaltigkeiten ohne Metrik......Page 252
13.3 Drei Grundsätze des Ricci-Kalküls auf Mannigfaltigkeiten ohne Metrik......Page 253
13.4 Tensorfelder......Page 256
13.5 Hinauf- und Herunterziehen der Indices im Ricci-Kalkül......Page 260
13.6 Invariante Bedeutung des Stellungwechsels der Indices......Page 262
13.7 Skalarprodukte für Tensoren im Ricci-Kalkül......Page 264
13.8 Dachprodukt und Sternoperator im Ricci-Kalkül......Page 265
13.9 Divergenz und Laplace-Operator im Ricci-Kalkül......Page 267
13.10 Ein Schlußwort......Page 270
13.11 Test......Page 271
13.12 Übungsaufgaben......Page 274
13.13 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 277
14.1 Antworten auf die Testfragen......Page 279
14.2 Literaturverzeichnis......Page 281
14.3 Register......Page 282