Jacobi Forms, Finite Quadratic Modules and Weil Representations over Number Fields

انتظار می‌رود که نظریه جدید شکل‌های ژاکوبی بر روی فیلدهای اعداد کاملاً واقعی معرفی شده در این تکنگ، بینش بیشتری در مورد نظریه حسابی اشکال مدولار هیلبرت، سری L آن و منحنی‌های بیضوی بر روی فیلدهای اعداد ارائه دهد. این اثر از نظریه کلاسیک فرم های ژاکوبی بر روی اعداد گویا الهام گرفته شده است، که ابزاری ضروری در نظریه حسابی اشکال مدولار بیضوی، منحنی های بیضوی و در بسیاری از رشته های دیگر در ریاضیات و فیزیک است. فرم‌های ژاکوبی را می‌توان به‌عنوان فرم‌های مدولار با ارزش برداری مشاهده کرد که مقادیری را در نمایش‌های به اصطلاح Weil می‌گیرند. بر این اساس، دو فصل اول تئوری مدول‌های درجه دوم محدود و نمایش‌های ویل مرتبط را بر روی فیلدهای عددی توسعه می‌دهند. این بخش ممکن است برای کسانی که صرفاً به نظریه بازنمایی گروه های مدولار هیلبرت علاقه مند هستند، جالب باشد. یکی از کاربردهای اصلی، طبقه‌بندی کامل اشکال ژاکوبی وزن مفرد بر روی یک فیلد اعداد کاملاً واقعی دلخواه است.

The new theory of Jacobi forms over totally real number fields introduced in this monograph is expected to give further insight into the arithmetic theory of Hilbert modular forms, its L-series, and into elliptic curves over number fields. This work is inspired by the classical theory of Jacobi forms over the rational numbers, which is an indispensable tool in the arithmetic theory of elliptic modular forms, elliptic curves, and in many other disciplines in mathematics and physics. Jacobi forms can be viewed as vector valued modular forms which take values in so-called Weil representations. Accordingly, the first two chapters develop the theory of finite quadratic modules and associated Weil representations over number fields. This part might also be interesting for those who are merely interested in the representation theory of Hilbert modular groups. One of the main applications is the complete classification of Jacobi forms of singular weight over an arbitrary totally real number field.