Inverse M-Matrices and Ultrametric Matrices

مطالعه ماتریس‌های M، معکوس‌های آن‌ها و نظریه پتانسیل گسسته اکنون بخشی از جبر خطی و نظریه زنجیره‌های مارکوف است. تمرکز اصلی این تک نگاری به اصطلاح مسئله ماتریس M معکوس است که خواستار توصیف ماتریس های غیرمنفی است که معکوس آن ها ماتریس های M هستند. ما پاسخی را بر اساس نظریه پتانسیل گسسته بر اساس قضیه شوکت-دنی ارائه می کنیم. یک زیر کلاس متمایز از ماتریس‌های M معکوس، ماتریس‌های اولترامتریک هستند که در کاربردهایی مانند طبقه‌بندی مهم هستند. اولترا متریسیته به دلیل ارتباط آن با درختان در نظریه گراف و ماتریس های مقدار متوسط ​​مورد انتظار در نظریه احتمال، مفهومی مرتبط در جبر خطی و نظریه پتانسیل گسسته آشکار شده است. ویژگی‌های قابل توجه توابع و محصولات هادامارد برای کلاس ماتریس‌های M معکوس توسعه یافته‌اند و بینش‌های احتمالی در سرتاسر مونوگراف ارائه شده‌اند.

The study of M-matrices, their inverses and discrete potential theory is now a well-established part of linear algebra and the theory of Markov chains. The main focus of this monograph is the so-called inverse M-matrix problem, which asks for a characterization of nonnegative matrices whose inverses are M-matrices. We present an answer in terms of discrete potential theory based on the Choquet-Deny Theorem. A distinguished subclass of inverse M-matrices is ultrametric matrices, which are important in applications such as taxonomy. Ultrametricity is revealed to be a relevant concept in linear algebra and discrete potential theory because of its relation with trees in graph theory and mean expected value matrices in probability theory. Remarkable properties of Hadamard functions and products for the class of inverse M-matrices are developed and probabilistic insights are provided throughout the monograph.